Ділимо навпіл – трикутники та квадрати

До нас прийшов новий рік 2019. Це не просте число. Сума цифр 2+0+1+9=12, отже, число ділиться на 3. Простого числа доведеться чекати довго, до 2027 року. Все ж таки небагато читачів цього епізоду доживуть до двадцять другого століття. Але вони, безумовно, такі у цьому світі, особливо представниці прекрасної статі. Я ревную? Не зовсім… Але я маю писати про математику. Останнім часом я все більше пишу про початкову освіту.

Чи можна розділити коло на дві рівні половини? Безперечно. Як називаються частини, які ви отримаєте? Так, півколо. При поділі кола однією лінією (одним розрізом) чи потрібно проводити лінію через центр кола? так. А може, й не треба? Помнете, що це один розріз, одна пряма лінія.

Ви переконані, що кожен пряма лінія, що проходить через центр кола, ділить їх на рівні частини? Ви переконані, що для того, щоб поділити коло на рівні частини однієї прямої, треба провести її через центр?

Обґрунтуйте свою віру. І що означає "виправдати"? Математичне підтвердження відрізняється від «докази» в юридичному сенсі. Адвокат повинен переконати суддю та таким чином змусити Верховний суд визнати, що клієнт невинний. Для мене завжди було неприйнятно: наскільки доля підсудного залежить від красномовства папуги (так ми трохи зневажливо характеризуємо адвоката).

Для математика однієї віри замало. Доказ має бути формальним, а теза має бути останньою формулою у логічній послідовності від припущення. Це досить складна концепція, яку практично неможливо реалізувати у повсякденному житті.

Можливо, так воно й краще: позови та вироки, що ґрунтуються на «математичній логіці», були б просто… бездушними. Зважаючи на все, це відбувається дедалі частіше. Але я просто хочу, щоб о.

Навіть формальний доказ простих речей може спричинити труднощі. Як довести обидва ці переконання про поділ кола? Чим простіше спочатку кожна пряма, що проходить через центр, ділить коло на дві рівні частини.

Можна сказати так: повернемо фігуру на рис.1 на 180 градусів. Потім зелене поле стане синім, а синє поле стане зеленим. Отже, вони мають рівні квадрати. Якщо провести лінію не через центр, то одне із полів буде явно менше.

Трикутники та квадрати

Отже, давайте продовжимо квадрат. Чи є у нас те саме, що:

1. кожна пряма, що проходить через центр квадрата, поділяє його на дві рівні частини?
2. Якщо пряма лінія ділить квадрат на дві рівні частини, чи має вона проходити через центр квадрата?

Чи переконані ми у цьому? Ситуація інша, ніж колеса (2-7).

підемо рівносторонній трикутник. Як ви розрізаєте його навпіл? Легко - просто обріжте вершину і перпендикулярно до основи (8).

Нагадую, що основою трикутника може бути будь-яка його сторона, навіть похила. Розріз відбувається через центр трикутника. Чи будь-яка пряма, що проходить через центр трикутника, ділить його навпіл?

Ні! рис. 9. Кожен із кольорових трикутників має однакову площу (чому?), тож вершина великого трикутника має чотири, а нижня — п'ять. Співвідношення полів не 1:1, а 4:5.

Що, якщо ми розділимо базу, скажімо, на чотири частини та ми розділимо рівносторонній трикутник розріз через центр та через точку в чверті основи? Читачу, чи бачите ви, що на малюнку 10 площа «бірюзового» трикутника становить 9/20 площі всього трикутника? Ти не бачиш? Дуже шкода, я залишу це вам як завдання для вирішення.

Перше питання – поясніть, як це: ділю основу на чотири рівні частини, проводжу пряму через точку поділу та центр трикутника, а на протилежному боці отримую дивний поділ у співвідношенні 2:3? Чому? Чи можете ви розрахувати це?

А може, ти, Читаче, цього року випускник середньої школи? Якщо так, то визначте, за якого положення рядків відношення полів мінімальне? Ви не знаєте? Я не говорю, що ви повинні виправити це прямо зараз. Я даю вам дві години.

Якщо ви не вирішите її, тоді… ну, у будь-якому разі, удачі вам на випускних іспитах у старшій школі. Я повернуся до цієї теми.

Прокинься незалежність

- Ти вмієш дивуватися? Це назва книги, опублікованої давним-давно журналом Delta, математичним, фізико-астрономічним щомісячником. Погляньте на світ навколо вас. Та що там річки з піщаним дном (адже вода має одразу вбратися!).

Чому хмари пливуть повітрям? Чому літак летить? (Має відразу впасти). Чому в горах на вершинах іноді тепліше, ніж у долинах? Чому в південній півкулі сонце опівдні знаходиться на півночі? Чому сума квадратів гіпотенузу дорівнює квадрату гіпотенузи? Чому тіло ніби втрачає у вазі під час занурення у воду, оскільки воду воно витісняє?

Запитання, питання, питання. Не всі з них відразу застосовуються до повсякденного життя, але рано чи пізно будуть. Чи усвідомлюєте ви важливість останнього питання (про воду, витіснену зануреним тілом)? Усвідомивши це, літній джентльмен бігав голим містом і кричав: "Еврика, я знайшов!" Він не тільки відкрив фізичний закон, а й довів, що ювелір царя Херона був фальшивомонетником!!! Подробиці дивіться у глибинах інтернету.

Тепер подивимося на інші фігури.

Шестикутник (11-14). Чи будь-яка пряма, що проходить через його центр, ділить його навпіл? Чи повинна лінія, яка поділяє шестикутник навпіл, проходити через його центр?

Що про п'ятикутник (15, 16)? Восьмикутник (17)? І для еліпси (18)?

Один із недоліків шкільної науки полягає в тому, що ми викладаємо «по-дев'ятнадцятому віці» — ми даємо учням завдання та очікуємо, що вони його вирішать. Що в цьому поганого? Нічого – крім того, що за кілька років нашому учневі доведеться не лише реагувати на команди, які він «отримав» від когось, а й бачити проблеми, формулювати завдання, орієнтуватися у тій галузі, куди ще ніхто не дійшов.

Мені стільки років, що я мрію про таку стабільність: «Вчися, Джоне, роби взуття, і будеш працювати шевцем все життя». Виховання як перехід у вищу касту. Відсотки на все життя.

Але я настільки «сучасний», що знаю, що маю готувати своїх учнів до професій, яких... поки що немає. Найкраще, що я можу і можу зробити, це показати студентам: ВИ ЗМІНІТЬ СЕБЕ? Навіть лише на рівні початкової математики.

Дивіться також: