Як добре, що воно ділиться на 2

Іноді я ставлю латку своїм колегам-фізикам, кажучи, що фізика сама по собі надто складна для них. Сучасна фізика стала математичнішою на 90%, а то й на 100%. Вчителям фізики властиво скаржитися, що вони не можуть добре викладати, бо вони не мають у школі відповідного математичного апарату. Але я думаю, що найчастіше просто вчити не можуть, тому кажуть, що повинні мати відповідні поняття та математичні прийоми, особливо диференціальне обчислення. Це правда, що тільки після математичного питання ми можемо повністю зрозуміти його. Слово "обчислити" має спільну тему зі словом "обличчя". Показати свою особу = бути обчисленим.

Ми сиділи з колегою, польським філологом та соціологом Анджеєм, біля прекрасного озера Мауда, Сувалки. Липень цього року був холодним. Вже не пам'ятаю, навіщо розповідав відомий анекдот про мотоцикліста, котрий не впорався з керуванням, врізався у дерево, але вижив. У машині швидкої він марив, "як добре, що хоч на двох поділився". Лікар розбудив його і спитав, що відбувається, що ділити чи не ділити на два. Відповідь була: mv².

Анджей довго сміявся, але потім несміливо спитав, про що мв2. я пояснив це E = mv²/2 це формула для кінетична енергіяцілком очевидно, якщо ви знаєте інтегральне числення, але не розумієте його. Через кілька днів він попросив пояснення у листі, щоб він дійшов до нього, польського вчителя. Про всяк випадок я сказав, що в Росії немає царських доріг (так сказав Арістотель своєму царському учню Олександру Македонському). Усім їм доводиться страждати однаково. О, це правда? Адже досвідчений гірський гід проведе клієнта найпростішим шляхом.

mv² для чайників

Андрій. Я був би незадоволений, якби наступний текст здався вам надто важким. Моє завдання: пояснити тобі, про що цей кліп². Зокрема чому квадрат і чому ми ділимо на два.

Ви бачите: mv – це імпульс, а енергія – це інтеграл імпульсу. Простий?

Щоб фізик вам відповів. А я... Але про всяк випадок, як передмова, нагадування про минулі часи. Нас цьому навчали у початкових класах (середнього ще не було).

Дві величини прямо пропорційні, якщо при збільшенні або зменшенні однієї збільшується або зменшується інша, завжди в одній пропорції.

Наприклад:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I 5 10 15 20 25 30 35 40 45

У цьому випадку Y завжди вп'ятеро більше, ніж X. Ми говоримо, що коефіцієнт пропорційності 5. Формула, що описує це відношення, має вигляд y = 5x. Ми можемо намалювати графік прямої лінії y = 5x (1). Графік пропорційності прямої є рівномірно висхідною прямою. Рівним збільшенням однієї змінної відповідають рівні збільшення іншої. Отже, більш математична назва такого зв'язку: лінійна залежність. Але ми не збираємось його використовувати.

1. Графік функції y = 5x (інші масштаби по осях)

Звернемося тепер до енергії. Що таке енергія? Погодимося, що це якась прихована сила. "У мене немає сил на прибирання" - це майже те саме, що "У мене немає сил на прибирання". Енергія - це прихована сила, що дрімає в нас і навіть у речах, і її добре приборкати, щоб вона служила нам, а не викликала руйнування. Ми отримуємо енергію, наприклад, заряджаючи акумулятори.

Як виміряти енергію? Це просто: міра роботи, яку він може зробити для нас. В яких одиницях ми вимірюємо енергію? Так само, як робота. Але для цілей цієї статті ми вимірюватимемо його в... метрах. Як так ?! Подивимося.

Предмет, що підвішений на висоті h над горизонтом, має потенціальна енергія. Ця енергія звільниться, коли ми переріжемо нитку, на якій висить тіло. Потім він упаде і проробить якусь роботу, навіть якщо він просто проробить дірку в землі. Коли наш об'єкт летить, він має кінетичну енергію, енергію самого руху.

Ми легко можемо погодитися, що потенційна енергія пропорційна висоті h. Перенесення вантажу на висоту 2 години втомить нас удвічі більше, ніж підйом на висоту h. Коли ліфт доставить нас на п'ятнадцятий поверх, він споживатиме втричі більше стільки електрики, скільки на п'ятому… (написавши цю пропозицію, я зрозумів, що це неправда, тому що ліфт, окрім людей, несе ще й власну вагу, і чималу) для економії прикладу, у вас замінити ліфт (наприклад, будівельним краном). Те саме стосується і пропорційності потенційної енергії до маси тіла. Для перевезення 20 тонн на висоту 10 м потрібно вдвічі більше електроенергії, ніж для 10 тонн на 10 м. Це можна виразити формулою E ~ mh, де тільда ​​(тобто знак ~) - знак пропорційності. Подвоєна маса та подвоєна висота дорівнюють чотириразовій потенційній енергії.

Надання тілу потенційної енергії шляхом підйому на певну висоту не мало б місця, якби не сила тяжіння. Саме завдяки їй усі тіла падають на землю (на Землю). Ця сила працює так, що тіла отримують постійне прискорення. Що означає «постійне прискорення»? Це означає, що падаюче тіло неухильно і неухильно збільшує свою швидкість - так само, як автомобіль рушає з місця. Він рухається все швидше та швидше, але прискорюється з постійною швидкістю. Ми скоро побачимо це на прикладі.

Нагадаю, що ми позначаємо прискорення вільного падіння через g. Це близько 10 м/с². Знову ж таки, у вас може виникнути питання: що це за дивна одиниця – квадрат секунди? Однак слід розуміти інакше: кожну секунду швидкість падаючого тіла збільшується на 10 м/с. Якщо в якийсь момент рухається зі швидкістю 25 м/сек, то через секунду має швидкість 35 (м/сек). Також зрозуміло, що тут ми маємо на увазі тіло, яке не надто стурбоване опором повітря.

Тепер нам потрібно вирішити арифметичну задачу. Розглянемо щойно описане тіло, яке в один момент має швидкість 25 м/сек, а через секунду 35. Яка відстань воно пройде за цю секунду? Проблема у цьому, що швидкість змінна й у коректних розрахунків потрібен інтеграл. Однак воно підтвердить те, що ми відчуваємо інтуїтивно: результат буде таким самим, як і для тіла, що рухається рівномірно із середньою швидкістю: (25 + 35)/2 = 30 м/сек. - І, отже, 30 м.

Давайте на мить перейдемо на іншу планету, з іншим прискоренням, наприклад, 2g. Зрозуміло, що там ми набираємо потенційну енергію вдвічі швидше – піднімаючи тіло на висоту вдвічі нижчу. Таким чином, енергія пропорційна прискоренню планети. Як модель візьмемо прискорення вільного падіння. І тому ми не знаємо цивілізації, яка живе на планеті з іншою силою тяжіння. Це призводить до формули потенційної енергії: E = gmch.

Тепер переріжемо нитку, де ми підвішували камінь масою m на висоті h. Камінь падає. Коли він впаде на землю, він виконає свою роботу - це інженерне питання, як використовувати його для нашої користі.

Намалюємо графік: тіло масою m падає вниз (тим, хто дорікає мені у фразі, що воно не може впасти вгору, відповім, що вони мають рацію, і тому я написав, що воно було вниз!). Відбудеться конфлікт маркувань: літера m означатиме і метри, і масу. Але ми розберемося, що колись. Тепер давайте подивимося на графік нижче та прокоментуємо його.

Дехто подумає: це просто хитрі трюки з нумерацією. Але перевіримо: якщо тіло злетить зі швидкістю 50 км/год, воно досягне висоти 125 м - тобто в точці, де воно зупиниться на нескінченно короткий момент, воно матиме потенційну енергію 1250 м, а це теж мв.²/ 2. Якби ми запускали тіло на 40 км/год, то воно летіло б на 80 м, знову ж таки²/ 2. Тепер ми, напевно, не маємо сумніву, що це не збіг. Ми знайшли один з Закони руху Ньютона! Потрібно було тільки поставити уявний експеримент (ой, вибачте, спочатку визначити прискорення вільного падіння g – за легендою це зробив Галілей, скидаючи предмети з вежі в Пізі, вже тоді кривою) і головне: мати чисельну інтуїцію. Вірте, що добрий Господь Бог створив світ, дотримуючись законів (які він, можливо, вигадав сам). Можливо, він подумав: «О, я видам закони, щоб вони ділилися на два». Це з половиною більшість фізичних констант настільки неймовірно дивні, що можна запідозрити Творця в почутті гумору. Це стосується і математики, але не про неї сьогодні.

Близько десятка років тому у Татрах альпіністи закликали на допомогу одну зі стін Морського Око. Був лютий, холод, короткий день, погана погода. Рятувальники дісталися до них лише опівдні наступного дня. Альпіністи вже змерзли, голодні, без сил. Рятувальник вручив першому з них термос із гарячим чаєм. "З цукром?" — спитав альпініст ледь чутним голосом. «Так, з цукром, вітамінами та підсилювачем кровообігу». «Дякую, я з цукром не п'ю!» — відповів альпініст і знепритомнів. Ймовірно, схоже відповідне почуття гумору виявляв і наш мотоцикліст. Але жарт був би глибшим, якби він зітхнув, скажемо так: «ах, якби не цей квадрат!».

Для того, що каже формула, співвідношення E = mv²/ 2? Що викликає "квадрат"? У чому особливість "квадратних" відносин? Що, наприклад, подвоєння причини викликає чотириразове збільшення слідства; триразово – дев'ятиразово, четверично – шістнадцятиразово. Енергія, яку ми маємо під час руху на 20 км/год, у чотири рази нижча, ніж на 40, і в шістнадцять разів менша, ніж на 80! Та й взагалі, уявіть собі наслідки зіткнення на швидкості 20 км/год. з наслідками зіткнення на швидкості 80 км/год. Без будь-яких шаблонів ви можете бачити, що він набагато більший. Співвідношення ефектів збільшується прямо до швидкості, і розподіл на два трохи пом'якшує це.

* * *

Свята вже позаду. Я пишу статті вже кілька років. Тепер... у мене нема сил. Довелося б написати про реформу освіти, в якій теж є хороші сторони, але рішення ухвалювали на непредметній основі люди, придатні для того, що я для балету (я маю значну зайву вагу і мені за 70 років).

Втім, як би за обов'язком служби, пошлюся на ще один вияв елементарного невігластва серед журналістів. За загальним визнанням, ніщо не зрівняється з журналістом з Ольштин, який присвятив велику статтю питанню обману споживачів виробниками. Ну, писав журналіст, на пачці вершкового масла була вказана жирність у відсотках, але не пояснено, на кілограм чи цілий куб.

Неточність, написана журналістом О.Б. (Вигадані ініціали) в Тігоднік Повшечний від 30 липня ц.р., більш тонка. Він заявив, що, згідно з дослідженням CBOS, 48% людей, які вважають себе дуже релігійними, приймають певне відношення X (неважливо, в чому справа, це не має значення), а 41% тих, хто бере участь у релігійних практикує кілька разів на тиждень підтримку X. Це означає, пише автор, що більше двох п'ятих найактивніших католиків не визнають X. Я довго намагався з'ясувати, звідки у автора ці дві п'яті, і… не розумію. Формальної помилки немає, оскільки дійсно, математично кажучи, більше двох п'ятих респондентів проти X. Просто можна сказати, що більше половини (100 - 48 = 52).