Як обдурити, маніпулювати та уявити себе у вигідному світлі у величі математики?

На початку листопада 2020 року Матеуш Моравецкий послався на математиків з Центру математичного моделювання, що вони показали, що Жіночий страйк викликав зростання заражень на 5000. -На Матеуша.

Хочу наголосити, що, можливо, всупереч назві статті, я не хвалитиму, ні критикуватиму нинішнього прем'єра. я думаю що математика не є його сильною стороною, але такий інтелектуальний недолік не викликає заперечень у більшості з вас. Та й взагалі, хіба великий математик не був би на відповідальній посаді, але не мудрий у житті та політиці? Також згадаю, що Дональд Туск у своїй колишній президентській кампанії сказав (як жартома): «іспити з математики не можна писати без скачування». Знаєш – математична хмара твій чоловік, як і я. Джуліан Тувім снобізував з приводу свого невігластва в математиці. І мене покликали до дошки. Зазначу лише, що у нас у Польщі була прем'єра з математики. Це був (п'ять разів) Казімєж Бартель, 1882-1941, ректор Львівської політехніки, чудовий геометр. Я не можу і не намагаюся судити про його правління.

Витирання рота є універсальним та старим. Про це написані книги, тонкі та товсті. Способів багато, я розповім про деякі, почну з тих, що пошиті товстими нитками. Можливо, в минулому таких методів було навіть більше, бо в монументальному та першому у своєму роді Словнику польської мови Семюель Богуміл Лінде (опубліковано у 1807-1814 рр.) читаємо:

математик, математичний математик, математичний жонглер

Ми не знаємо найпростіших дій і дуже хочемо проявити себе. Кілька років тому журналіст із Ольштину написав довгу викривальну статтю про те, як нас дурять виробники. Наприклад: на пачці вершкового масла написано “жирність 85 відсотків” – а це 85 відсотків у кубі чи кілограмі? Вся Польща чирикала. Але лише розумні вчителі математики (тобто всі вчителі математики!) помітили помилку у міркуваннях одного з наших колишніх прем'єр-міністрів Казимира Марцинкевича багато років тому. Я трохи зміню цифри, щоб легше було бачити. Він сказав приблизно так: ми витратили 150 мільйонів злотих на дорожнє будівництво, а 50 отримали з Брюсселя, тому витратимо лише 100. Ми заощадили 50 відсотків. Ну, 50 на 100 – це 50 відсотків. Де помилка? А якби ми мали 100 мільйонів, скільки б ми заощадили? Помилка тонка. Говорячи про відсотки, важливо пояснити, звідки ми їх беремо. Це дуже поширена помилка вчителів. Кажуть, відсоток – це одна сота. Це не дозволено! Відсоток сотий, але це завжди щось. Якщо ми витратимо 150, а витратимо 100, то зекономимо 50 зі 150, що становить 33%. Прем'єр-міністр Марцінкевич був учителем фізики. Або він був настільки поганим учителем, що не розумів відсотки або навмисно маніпулював ними, щоб отримати кращий політичний ефект. Я б насправді віддав перевагу останньому. Нагадаю вам дуже старий довоєнний анекдот. "Тато, я сьогодні заощадив 20 центів!" «Це дуже добре, синку! Як? ” «Я не поїхала до школи на трамваї, а побігла за ним!» «Ах, синку, біжи вдруге за таксі — заощадиш 5 злотих!»

Ідеї, ідеї! Більшість ідей про творчий облік заснований на юридичних лазівках (закон, написаний на коліні = лайно) і збивається з поняття середнього. Ось приклад: як можна підвищити всім зарплату, знизивши середню зарплату? Просто: дайте невелике збільшення тим, хто вже працює, і при цьому найміть багато людей, що низько оплачуються. Середній впаде... а в умовах завдання про глобальний фонд заробітної плати й не йшлося. Нібито до 1989 року так поводився директор казенного підприємства.

Можна воювати безпосередньо, використовуючи математичну безграмотність багатьох кіл суспільства та поєднуючи математику (??) з літературою (??). Ось демагогічний, але вигаданий текст (щоправда, заснований на реальній публікації до 2010 року для уваги).

Медсестрам буде краще. Два роки тому середня чиста зарплата медсестри у Сохачівському повіті складала 1500 злотих. Минулого року уряд збільшив витрати на охорону здоров'я на півмільярда злотих. Це буде вдвічі більше, ніж у попередні роки. Герменегільда Коцюбинська, медсестра Центральної клінічної лікарні, каже: моя зарплата минулого місяця склала 4500 злотих. Це означає величезне, триразове зростання доходів у охороні здоров'я.

Невже нема кого обдурити? Навіть якщо числа збігаються, ви можете бачити, що ми порівнюємо тут Середня заробітна плата у губернській лікарні з окладом однієї людини цього місяця. Можливо, Герменегільда — завідувачка медсестр, може, в неї цього місяця було багато додаткових змін, і, крім того, у ЦРЛ особлива шкала окладів? Крім того, згадані 1500 500 злотих є чистою заробітною платою, і не зазначено, чи є заробітна плата пані Коцюбинською чистою чи брутто. Півмільярда це величезна сума для окремої людини, але що вона означає на національному рівні? Відразу зазначимо, що півмільярда звучить краще пропагандистськи, ніж 500 мільйонів. На що пішли 500 млн. злотих, не повідомляється. Невідомо, чому XNUMX млн злотих вдвічі більше.

Як я можу покращити свої результати навчання? Школа X критикується органами освіти за низькі освітні результати (тобто низький середній бал, хоч це різні речі!). Директор школи знаходить спосіб трохи покращити ситуацію. Він перекладає кількох учнів із класу А до класу Б і досягає своєї мети: середній бал в обох класах виріс.

Як це можливо? Якщо в класі А є учень, середній бал якого нижче, ніж у середньому в класі А, але вище, ніж у середньому в класі В, то переведення його до класу Б матиме такий самий ефект. Віра ґрунтується на цьому ефекті Мечислав Чума i Лешек Мазан, авторів «Галицької енциклопедії» (видавництво «Анабасис», Краків), що в той день, коли Сигізмунд ІІІ Ваза та його двір переселилися до Варшави, в обох цих містах підвищився середній рівень інтелекту.

Ми схильні тлумачити дані. Це звичайнісінька неелементарна розтяжка. Почну з найдурнішого, але достовірного прикладу. Багато років тому нині неіснуючий Express Wieczorny повідомив, що середня заробітна плата у Варшавському університеті становитиме 15000 тисяч 24 злотих (тоді злотих). Ректор повинен був отримувати найвищу зарплату, 6, найнижчий помічник-початківець, 15. Середня XNUMX!!! Маніпуляції поняття середнього є темою для абілітації.

Ось ще два приклади. Ви знаєте, що середня людина в Польщі має менше двох ніг? Так: є ті, у кого один, а три немає ні в кого! Другий приклад тонший. Ну, у нас із дружиною є свої машини. Мій розвізник споживає багато палива, 12,5 літрів на 100 км. Це означає, що на 100 км. мені потрібно 8 літрів. У моєї дружини маленький Міцубісі - витрачає 8 літрів на 100 км. Це теж чимало, але для того, щоб розрахунки були простими, дані потрібно трохи опрацювати. Ми часто їздимо на тому самому. Отже, середня витрата палива двох наших машин складає середнє арифметичне 8 та 12,5. Складаємо, ділимо на 2. Виходить 10,25 літрів. Звісно, важливо, щоб ми часто їздили однаково. То де ж простір для маніпуляцій?

О, тут. Чи знаєте ви, що витрати пального в США розраховуються по-іншому? Там дадуть відповідь: «Я стільки миль їжджу з одного галону». Залишимо переклад галонів у літри та миль за кілометри, але застосуємо це до вищезгаданих автомобілів: моєї та одноосібної Наглядової Ради Нашого Шлюбу. Я проїду лише 8 км на одному літрі (100 поділити на 12,5), дружина 12,5 км (100 поділити на 8). В середньому на один літр у нас піде... середнє арифметичне цих цифр. Ми вже розрахували це один раз. Виходить 10 із чвертю — цього разу 10,25 кілометра.

Повернемося до європейських мірок. Якщо я проїду 10,25 км. на одному літрі, скільки літрів вам потрібно на 100? Візьмемо калькулятор: 100 поділити на 10,25 - це ... 9,76. Середня витрата наших машин 9,76… а до цього було 10,25. Де помилка? Ні! Власне, над математиці, а трактуванні слів “їздимо однаково часто”. Ретельний аналіз покаже, що у першій інтерпретації це означає «ми проїжджаємо однакову кількість кілометрів на місяць», а у другій «ми використовуємо однакову кількість бензину». Можна було б додати третю змінну: ми проводимо за кермом однакову кількість часу (дружина їде набагато швидше) і було б інакше. Якщо ми щось вимірюємо, у нас має бути вимірювальна стрічка.

Тонкіші ситуації. Парадокс Сімпсон. Досліджуємо, що краще прибирає лупу: кока-кола або пепсі-кола. Тестуємо на жінок та чоловіків. Ось дані. Майже всі розрахунки можна робити у пам'яті.

Будь ласка, Читаче, сідайте. Просто, щоб не випасти з відчуття. Який напій краще видаляє лупу у чоловіків? Я відзначив великі числа червоним кольором, а менші синім. 25 більше, ніж 20, чи не так? Панове: купуйте кока-колу від лупи! А жінки? Напевно, навпаки? Ні, 60> 53. Жінки, пийте кока-колу.

Компанія купує рекламу на телебаченні, де щаслива пара (по-старому: чоловік і жінка) позбавляються цієї легкої недуги за допомогою кока-коли. Але ж є реклама Pepsi. Ну, тому що на тесті і тут, і тут було по 250 людей, отже, порівну. Coca-Cola допомогла 80 людям (32%), Pepsi допомогла 100 людям, 40%. На екрані натовп скидає лупу, а перед камерою котиться банка пепсі. "Наше покоління вже обрало!"

Де помилка? Ні. Я маю на увазі математика в порядку. Або, швидше, тільки арифметика. Щоб бути математично правильними, ми повинні взяти порівняні зразки з тією ж часткою М, що і К. В іншому випадку обчислення не мають сенсу, ніби ми обчислювали середню вагу комара та слона. Ми можемо складати та ділити на два. Що ми вирахували? Ну середня вага комара та слона. Що це нам дасть? Нитка.

Але перенесемо це в політику, США, звичайно. Прихильники одного з кандидатів, скажімо Бампа, закричали б: ми краще і для жінок, і для джентльменів. Голосуйте за Юзефа Підскока! Прихильники Triden писали б на банерах: Ми найкращі у всьому світі. Голосуйте за качку із 3 денами (Дональд).

Добре, як насправді? Це найскладніша частина. Що означає "дійсно"? Можна сказати: "Істинно те, що узгоджується з реальністю". Проте постає інше питання: як виміряти «відповідність реальності»? Але це вже не математика, і я хотів би дотримуватись її, бо тільки тут я почуваюся впевнено.

Про цей парадокс (званий Парадокс Сімпсона) заснований на багатьох, багатьох інших. У математиці він відомий сто років, але (щодо) нещодавно їм зацікавилися соціальні науки. Все почалося з того, що в одному з американських університетів ректор зауважив, що дівчаток приймають набагато менше, ніж хлопчиків. Вона запитала звіти у деканів… і виявилося, що на кожному факультеті співвідношення прийнятих до кандидатів у дівчат більше, ніж у юнаків, – і навпаки. Я рекомендую читачеві переробити приклад Pepsi та Coca-Cola на ситуацію з університетськими факультетами.

Ще тонша ситуація. У математичному світі всім відомий приклад Небраски. Десь у Небрасці було здійснено обшук у магазині, пограбовано касовий апарат. Свідки лише пам'ятали, що це зробила дивна парочка: темношкірий чоловік із бородою та жінка зі східними рисами обличчя. Вони поїхали (вереск шин, як у фільмі) на жовтій Тойоті. За кілька годин поліція затримала… жовту «Тойоту», в якій перебував афроамериканець із бородою у супроводі азіатки. "Це ти!". Наручники, суд. Досвідчений математик підрахував, що такий набір (негр+азіат+жовта Тойота) є настільки унікальним, що 99,999% грабіжників розшукуються. Він кидав у залі завчені терміни: елементарні події, діаграма Бернуллі, кон'юнкція. Пара пішла сидіти. Однак вони найняли найкращого математика, який сказав у зверненні: «Добре. Міркуйте самі, мій попередник підрахував, що ймовірність того, що випадково зустрінута машина з двома пасажирами буде жовтою тойотою з чорним і японкою така-то. Але тут треба вирішити інше завдання, умовну ймовірність. Яка можливість зустріти ще одну пару (або трьох, якщо включити машину), якщо ми знаємо, що така вже існує. »

Ми не знаємо, чи суддя зрозумів якийсь із аргументів. Мабуть, лише те, що відповідь залежить від вибору ситуації. Цього було достатньо. Він скасував вирок.

Удар стовпом по голові. Ми завжди ставилися до такої демагогії.

Бари жахливі: ціни на вугілля зросли вдвічі. Погляд на цифри обнадіює: вони справді виросли із 161 злотого за тонну до 169 злотих (вправа: на скільки відсотків?). Але оскільки більшість людей навчаються візуально, вони запам'ятають графік, а чи не числа. Не вдаючись у політичні дискусії, мушу сказати, що аналогічний метод використав уряд (той, що з літа 2020 року), представивши збільшення витрат на боротьбу з раком. Це не критика цього уряду. Наступний також використовуватиме цей метод. Це безпечно і дає негайний ефект (видно).

Давайте носити маски. Закони поширення епідемій прості і «власними силами» невблаганні. Число інфікованих зростає тим швидше, що більше їх уже. Ось так іде лавина. Так каже математика. Є, проте, велике "але" - можливо, не одне. По-перше, це так, поки що «нічого не відбувається». Коли лавина в лісі буде зупинена, коли епідемія буде сповільнена мудрою поведінкою всіх нас - тоді ми не стільки "дякувати" математиці, скільки створювати іншу модель. Так, інша математична модель (як у прикладі з пограбуванням магазину у Небрасці). Математика, чудова наука, лише допомагає зрозуміти світ. Стільки – але лише стільки. Подивимося: ми стрибаємо майже на шість метрів із жердиною, без нього навіть на 2,50 не стрибаємо. Потім візьміть жердину в руку і стрибайте. Він страшенно заважає, так?

використання математика у соціальних науках це важко, небезпечно і, що ще гірше, привабливо. У знавців Татр він асоціюється з яром Дреге: пологий, трав'янистий спуск із Гранатів у Чорний Став… Ось так він виглядає згори. Незабаром яр перетворюється на пастку, з якої нас може врятувати лише ТОПР, Татранська волонтерська рятувальна служба.

Математики називають таке збільшення снігової лавини та епідемії експоненційним зростанням. Як я вже писав, це зростання можна придушити, але не знову. Однак давайте подивимося на два графіки однієї кривої (тільки в іншому масштабі). Хто зрозуміє, наводжу формулу цієї функції: y = 2^xдва до влади. Будь ласка, подивіться на графіки. З якої точки відбувається швидке прискорення зростання? Кожен вказуватиме: це більш-менш близько до точки, позначеної великою точкою. Але на першому графіку це значення близько до 1,5, на другому більше 3, а на третьому 4,5. Якщо саме тоді будуть якісь вуличні демонстрації, то можна сказати: ну, будь ласка, з моменту демонстрації крива пішла вгору, різко пішла вгору. У величі математики! І це лише властивість експоненційної кривої. Відповідний масштаб і точка, з якої починається швидке прискорення, можна вибрати вільно (2).

Президентські вибори... у США, звісно. Ми й досі пам'ятаємо фарс листопада 2020 року. Країна, яка досі є державою №1, не впоралася з рахунком сторінок. У результаті виявилося, що Джо Байден він не лише набрав більше голосів виборців, але й виграв би, якби рішення ухвалила просту більшість. У ситуації, яку я опишу, немає жодного математичного підтасовування – просто приклад того, наскільки результат виборів може залежати від ухваленої постанови. Якщо відомо, протестувати важко. Захисник у футболі може вважати заборону на гру руками неправильною, але якщо її ігнорувати, буде призначено пенальті.

Уявіть, що на посаду президента Греції балотуються: Аполлоній, Евклід, чапля, Піфагор i Такі. Кого виберуть виборці, той стане президентом. Їх 100. Вони обиралися загальним голосуванням, та був партії, представлені у парламенті, тобто Circus Maximus, встановлювали порядок своїх переваг. Щось не так, тому що Circus Maximus – латинська, а не грецька назва. Але не сперечатися з джерелами.

Хто стане президентом? Давайте подивимося, як це залежить від рукоположення. Переваги партії слід розуміти таким чином, що її виборці голосують за першу особу зі списку, що залишився на виборах після чергового туру.

Якщо ухвала передбачає, що перемагає кандидат, який поставив найбільшу кількість виборців на перше місце, переможе Піфагор, тому що його буде обрано 25 + 9 = 34 виборцями. Ось що відбувається у школі, коли ми обираємо, наприклад, найкращого учня. На нашому місці: Піфагор обраний народом!
На сучасних президентських виборах найчастіше використається система другого туру. Ми голосуємо за одного кандидата, але якщо жоден із них не перевищує 50 відсотків, проводиться другий тур. Переможцем стає той, хто набирає абсолютну більшість голосів, тобто просто більше, ніж його опонент. За такого розкладу у другий тур пройдуть Піфагор (34 голоси) та Фалес (20). У другому турі виборці розподіляють голоси відповідно до своїх уподобань. Всі, крім піфагорійців, віддають перевагу Фалесу Піфагору. Це часта ситуація, коли партія має жорсткий електорат і оточена загальним небажанням. Тож у додатковий час Піфагор не отримає жодного голосу. Результат 66:34 на користь Фалеса та вирішальна перемога. Схожа ситуація сталася у 2001 році у Словаччині, де кандидат, який явно виграв перший тур, програв у другому. Аналогічно було і на президентських виборах у Польщі у 2005 році: лідер зазнав поразки у другому після першого туру. Хай живуть Президентські казки!
У велогонках використовуються звані Австралійська система. Після кожного кола траси вибуває останнє. Цей варіант закону про вибори має назву «вибори директорів». За цією системою було обрано першого президента незалежної Польщі Габріеля Нарутовича. Як би це виглядало у нашій Греції?

Справа складніша. Будь ласка, відстежте. У першому турі Евклід отримав найменшу кількість голосів та вибув (а шкода, такий гарний математик!). Потім партія у другому турі голосує за другого у своєму списку: Чапля. У другому турі у Херона 19+10=29 голосів. Аполлоній вибуває (17 голосів). Партії, а потім голосуйте за Херона. У третьому турі Піфагор (фіксований електорат) має 34 голоси, Фалес 20 та Герон 29 + 17 = 46 голосів. Казки вийшли. Фалезійці (партія Б) теж не люблять піфагорійців – вони віддають перевагу глашатаям. Інші також, окрім стабільних партій А та Е. У фінальному повороті Херон легко перемагає Піфагора 66:34. Віват Президент Херон!

4. На конкурсі пісні «Євробачення» за перше місце у списку нараховувалося 12 балів, за друге місце – 10, за третє – 9 тощо. Припустимо приблизно такий же рахунок 6-4-3-2-1. Так нараховувалися очки у трьох легкоатлетичних матчах (три команди, по два гравці у кожному змаганні, у 1958 році Польща виграла у США та Великобританії!). Наші результати будуть наступними:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Греки, ось ваш президент Евклід!

5. Читачі здогадуються, що нам потрібно лише порахувати голоси так, щоб виявилося, що Аполлоній найкращий. І справді, Аполлоній найкращий — тому що він найкращий. Усі програють Аполлонію! Чому?

Бо скільки виборців поставили Аполлонія вище за Герона? Давайте порахуємо: 25+17+9=51, отже більшість. Не сильно, але все ж таки.

Наскільки Аполлоній випереджає Евкліда? 20 + 19 + 17 = 56, більшість із них.

Скільки віддають перевагу Аполлонію Фалесу: 19+17+10+9=55>50.

Нарешті, Аполлоній Піфагорський надає перевагу 20 + 19 + 17 + 10 = 66 виборщиків із 100.

З тих пір – грецький народ, що вміє логічно мислити, – з тих пір найбільше Аполлоній віддає перевагу будь-якому іншому кандидату; адже саме він має правити нами на наступний термін! Підійди ближче, Аполлоніє, наш обраний президент! Ти будеш нашим 44-ма.