Коронавірус та математична освіта – Частково замовлені колекції
Вірус, що вразив нас, сприяє швидкій реформі освіти. особливо на вищих щаблях освіти. На цю тему можна написати більш довгий твір, напевно, буде потік докторських дисертацій за методикою дистанційного навчання. З певної точки зору, це повернення до витоків і забутих звичок самонавчання. Так було, наприклад, у Кременецькій середній школі (у Кременці, що нині в Україні, що існувала в 1805-31 рр., животіла до 1914 р. і переживала свій розквіт у 1922-1939 рр.). Студенти вчилися там самостійно – тільки після того, як вони вивчилися, входили викладачі з виправленнями, остаточними роз'ясненнями, допомогою у важких місцях тощо. д. Коли я став студентом, ще говорили, що знання ми повинні здобувати самі, що заняття до університету лише замовити та направити. Але тоді це була лише теорія…
Навесні 2020 року не я один виявив, що уроки (у тому числі лекції, вправи тощо) можна дуже ефективно проводити віддалено (Google Meet, Microsoft Teams тощо), ціною великої роботи на частину вчителя та просто бажання «отримати освіту» з іншого боку; але й із деяким комфортом: я сиджу у себе вдома, у своєму кріслі, а на традиційних лекціях студенти теж часто займалися чимось іншим. Ефект від такого навчання може бути навіть кращим, ніж при традиційній, висхідній до середньовіччя, класно-урочній системі. Що від нього залишиться, коли вірус вирушить «до дідька»? Я думаю... досить багато. Але ми побачимо.
Сьогодні я розповім про частково замовлені набори. Це просто. Оскільки бінарне відношення в непустому множині X називається ставленням часткового порядку, коли існує
(Тадеуш Котарбінський, 1886-1981, філософ,
президент Польської академії наук у 1957–1962 рр.).
- Рефлексивний, тобто для кожного ∈ є «,
- Перехожий, тобто. якщо ", і", то ",
- Напівасиметричний, тобто («∧»)→ знак дорівнює
Рядок - це безліч з наступною властивістю: для будь-яких двох елементів це безліч або "або y". Антиланцюг – це…
Стоп, стоп! Чи можна щось із цього зрозуміти? Звісно, це є. Але чи зрозумів уже хтось із Читачів (що не знають іншого) що тут?
Не думаю! І це канон викладання математики. Теж у школі. Спочатку пристойне, суворе визначення, а потім ті, хто не заснув від нудьги, обов'язково щось зрозуміють. Цей метод був нав'язаний великими вчителями математики. Він повинен бути акуратним та суворим. Це правда, що так і має бути наприкінці. Математика має бути точною наукою (Дивіться також: ).
Маю зізнатися, що в університеті, де я працюю після виходу на пенсію з Варшавського університету, я також викладав багато років. Тільки в ній було горезвісне відро з холодною водою (нехай так і залишиться: потреба була відро!). Несподівано висока абстракція стала легкою та приємною. Встановити увагу: легко значить легко. Легкому боксеру також доводиться нелегко.
Я посміхнуся своїм спогадам. Основ математики мене навчав тодішній декан факультету, першокласний математик, який щойно приїхав з довгого перебування в США, що на той час було чимось екстраординарним саме собою. Я думаю, що вона була трохи снобісткою, коли трохи забула польську мову. Вона зловживала старими польськими «що», «тому», «азалія» і вигадала цей термін: «напівасиметричні відносини». Мені подобається його використовувати, він справді точний. Мені подобається. Але я цього не вимагаю від студентів. Це зазвичай називають "низькою антисиметрією". Десятка красиві.
Давним-давно, оскільки у сімдесятих роках (минулого століття) було зроблено велика, радісна реформа викладання математики. Це збіглося з початком короткого періоду правління Едуарда Герека – певного відкриття нашої країни світу. «Дітям можна вивчати й вищу математику», — вигукували Великі Вчителі. Для дітей було складено конспект університетської лекції «Основи математики». Це була тенденція не лише у Польщі, а й у всій Європі. Вирішити рівняння було замало, треба було пояснити кожну деталь. Щоб не бути голослівним – кожен із Читачів може вирішити систему рівнянь:
але студенти мали обгрунтовувати кожен крок, посилатися відповідні висловлювання тощо. буд. Це було класичне перевищення форми над змістом. Мені зараз легко критикувати. Я теж був колись прихильником такого підходу. Це цікаво ... для молодих людей, захоплених математикою. Це, звичайно, було (і заради уваги, я).
Але вистачить ліричного відступу, давайте до справи: лекція, яка «теоретично» призначалася для другокурсників політехнікуму і була сухою, як кокосова стружка, якби не вона. я трохи перебільшую…
Добрий ранок тобі. Сьогоднішня тема – часткове очищення. Ні, це не натяк на недбале прибирання. Найкращим порівнянням було б розглянути, що краще: томатний суп або торт із кремом. Відповідь зрозуміла: дивлячись від чого. На десерт – печиво, а на блюдо: суп.
У математиці ми маємо справу із числами. Вони впорядковані: вони більші і менші, але з двох різних чисел одне завжди менше, а значить, інше більше. Вони розташовані по порядку як літери в алфавіті. У журналі занять порядок може бути таким: Адамчик, Багинська, Хойницький, Дерковський, Ельгет, Філіпов, Гжечник, Холницький (вони друзі та однокласники з мого класу!). Ми також не маємо сумнівів, що Матусяк «Матушелянський» Матушевський «Матисяк. Символ «подвійної нерівності» має значення «передує».
У моєму туристичному клубі ми намагаємося складати списки в алфавітному порядку, але на ім'я, наприклад, Аліна Вроньська «Варвара Качаровська», Цезар Боушиц тощо. В офіційних звітах порядок був би зворотним. Математики називають алфавітний порядок лексикографічним (лексикон більш менш схожий на словник). З іншого боку, такий порядок, за якого в імені, що складається з двох частин (Михал Шурек, Аліна Вроньська, Станіслав Смажинський) ми спочатку дивимося на другу частину, є для математиків антилексикографічним порядком. Довгі назви, але дуже простий зміст.
1. Лінійний порядок: станції та зупинки по дорозі залізниці Хабовка — Закопане від Підгале, побудовані 1899 р. (розшифровку скорочень залишаю читачеві).
Усі такі замовлення називаються лінійними замовленнями. Замовляємо по черзі: перше, друге, третє. Все гаразд, від першого пункту до останнього. Не завжди має сенс. Адже ми розставляємо книги у бібліотеці не так, а по секціях. Тільки всередині відділу маємо лінійно (зазвичай за алфавітом).
2. Лінійний порядок: під час запуску двигуна автомобіля виконуємо дії у погодженому порядку.
З більшими проектами, особливо у командній роботі, у нас більше немає лінійного порядку. Давайте подивимося на рис. 3. Ми хочемо збудувати невеликий готель. У нас вже є гроші (осередок 0). Оформляємо дозвільну документацію, збираємо матеріали, розпочинаємо будівництво, а заразом проводимо рекламну кампанію, шукаємо співробітників тощо. Коли ми досягнемо «10», перші гості можуть заселитися (приклад із розповідей пана Домбровського та їхнього маленького готелю у передмісті Кракова). У нас є нелінійний порядок - Деякі речі можуть відбуватися паралельно.
В економіці ви дізнаєтесь про концепцію критичного шляху. Це набір дій, які мають виконуватися послідовно (і це називається ланцюжком у математиці, докладніше про це трохи пізніше), і які займають найбільше часу. Скорочення часу будівництва – це реорганізація критичного шляху. Але про це на інших лекціях (нагадаю, що читаю “університетську лекцію”). Ми наголошуємо на математику.
Діаграми, подібні до малюнку 3, називаються діаграмами Хассе (Гельмут Хассе, німецький математик, 1898-1979). Кожне складне зусилля має бути сплановане в такий спосіб. Ми бачимо послідовності дій: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Математики називають їх струнами. Уся витівка складається з чотирьох ланцюжків. Навпаки, групи активності 1-2-3-4, 5-6-7 і 8-9 є антиланцюжками. Ось як вони зветься. Справа в тому, що у конкретній групі жодна з дій не залежить від попереднього.
4. Це також діаграма Хассе.
підемо малюнок 4. Що вражає? Але це може бути схема метро у якомусь місті! Підземні залізниці завжди згруповані в лінії — вони не переходять із однієї в іншу. Рядки - це окремі рядки. У місті мал. 4 є піч лінія (пам'ятайте, що піч пишеться «boldem» - по-польському називається напівтовстим).
На цій діаграмі є коротка жовта АБФ, шестистанційна АЦФКПС, зелена АДГЛ, синя ДГМРТ і найдовша червона. Математик скаже: на цій діаграмі Хассе є піч ланцюги. Це на червоній лінії сім станція: АЕЙНРУВ. А антиланцюги? Є вони сім. Читач уже помітив, що я двічі наголосив на слові сім.
Антицеп це такий набір станцій, що з жодної з них неможливо дістатися іншої без пересадки. Коли ми трохи «розберемося», то побачимо наступні антиланцюги: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR. Будь ласка, перевірте, наприклад, з будь-якої станції BCLTV неможливо проїхати на іншу BCTLV без пересадки, точніше: без необхідності повернення на станцію, показану нижче. Скільки антицепів існує? Сім. Якого розміру найбільший із них? Випікати (Знову ж таки напівжирним шрифтом).
Ви можете уявити, студенти, що збіг цих чисел не випадково. Це. Це було виявлено та доведено (тобто завжди так) у 1950 році Робертом Палмером Ділвортом (1914–1993, американський математик). Кількість рядків, необхідних для покриття всієї множини, дорівнює розміру найбільшої антиланцюжка, і навпаки: кількість антиланцюгів дорівнює довжині найдовшої антиланцюжка. Це має місце у частково упорядкованому наборі, тобто. такому, що можна візуалізувати. діаграма Хассего. Це не суворе і правильне визначення. Це те, що математики називають «робочим визначенням». Це дещо відрізняється від «робочого визначення». Це підказка про те, як розуміти частково впорядковані множини. Це важлива частина будь-якого навчання: перегляньте, як це працює.
Англійська абревіатура is — це слово гарно звучить у слов'янських мовах, трохи схоже на будяки. Зверніть увагу, що будяко теж гіллястий.
Дуже красиво, але кому це потрібно? Вам, дорогі студенти, він потрібен для складання іспиту і, напевно, це досить вагома причина для вивчення. Я слухаю які питання? Я слухаю, пане з-під вікна. О, питання в тому, чи буде це колись корисно Господу у вашому житті? Може і ні, але для когось розумніший за вас точно… Може для аналізу критичного шляху у складному економічному проекті?
Я пишу цей текст у середині червня, у Варшавському університеті відбуваються вибори ректора. Я прочитав кілька коментарів користувачів Інтернету. Напрочуд багато ненависті (або “ненависті”) до “освічених людей”. Хтось прямо написав, що люди з університетською освітою знають менше, ніж із університетською освітою. Я, звичайно, не вступатиму в дискусію. Мені просто сумно, що повертається усталена у Польській Народній Республіці думка, що все можна зробити молотком та зубилом. Я повертаюся до математики.
Теорема Діллворта має кілька цікавих застосувань. Одна з них відома як теорема про шлюб (англ.рис. 6).
Є група жінок (скоріше за дівчат) і трохи більша група чоловіків. Кожна дівчина думає приблизно так: «Я могла б вийти за цього, іншого, але ніколи в житті третього». І так далі, у кожного свої уподобання. Малюємо схему, ведучи до кожного їх стрілу від того хлопця, якого він не відкидає як кандидата на вівтар. Питання: чи можуть бути пари підібрані так, щоб кожна знайшла чоловіка, якого вона приймає?
Теорема Філіпа Холла, каже, що це можна зробити – за дотримання певних умов, які я тут обговорювати не буду (тоді на наступній лекції, студенти, будь ласка). Зверніть увагу, однак, що чоловіче задоволення тут взагалі не згадується. Як відомо, саме жінки обирають нас, а не навпаки, як нам здається (нагадаю, що я автор, а не автор).
Небагато серйозної математики. Як теорема Холла випливає з Ділворта? Це дуже просто. Подивимося ще раз на малюнок 6. Ланцюжки там дуже короткі: вони мають довжину 2 (біжать у напрямку). Набір чоловічків – антиланцюг (саме тому, що стрілки тільки назустріч). Таким чином, ви можете покрити цілу колекцію такою кількістю антиланцюгів, скільки є чоловіків. Отже, кожна жінка матиме стрілу. А це означає, що вона може здатися хлопцем, якого вона сприймає!
Зачекайте, хтось спитає, і все? Це все додаток? Гормони якось уживуться і навіщо математика? По-перше, це не все додаток, а лише одна з великої серії. Погляньмо на один з них. Нехай (рис. 6) маються на увазі не представники кращої статі, а досить прозаїчні покупці, і це марки, наприклад, автомобілів, пральних машин, засобів для схуднення, пропозиції турфірм і т. д. У кожного покупця є марки, які він приймає та відкидає. Чи можна щось зробити, щоб продати щось усім і як? На цьому не лише жарти закінчуються, а й пізнання автора статті на цю тему. Все, що я знаю, це те, що аналіз ґрунтується на досить складній математиці.
Викладання математики у шкільництві — це навчання алгоритмів. Це є важлива частина навчання. Але потихеньку ми рухаємося до навчання не так математики, як математичного способу. Сьогоднішня лекція була саме про це: ми говоримо про абстрактні помисли, ми думаємо про повсякденне життя. Йдеться про ланцюги та антиланцюги у множинах зі зворотними, транзитивними та іншими відносинами, які ми використовуємо у моделях продавець-покупець. Усі розрахунки за нас зробить комп'ютер. Він поки що не буде створювати математичні моделі. Ми, як і раніше, перемагаємо своїм мисленням. У будь-якому випадку, сподіваюся, якнайдовше!
