На новий навчальний рік
Більшість читачів були десь на відпочинку – чи то в нашій прекрасній країні, чи в країнах ближнього зарубіжжя, чи, можливо, навіть за океаном. Давайте скористаємося цим, поки межі для нас відкриті… Який був найчастіший знак у наших коротких та далеких подорожах? Це стрілка, що вказує у бік з'їзду з автомагістралі, продовження гірської стежки, входу в музей, входу на пляж тощо. Що у всьому цьому цікавого? Математично не дуже. Але давайте подумаємо: цей знак очевидний для всіх представників цивілізації, в якій колись стріляли з лука. Щоправда, довести це неможливо. Ми не знаємо жодної іншої цивілізації. Проте математично більш цікавий правильний п'ятикутник та його зірчастий варіант – пентаграма.
Нам не потрібно мати жодної освіти, щоб знайти ці цифри інтригуючими та цікавими. Якщо, Читаче, ти пив п'ятизірковий коньяк у п'ятизірковому готелі на Площі Зірок у Парижі, то, можливо… ти народився під щасливою зіркою. Коли хтось попросить нас намалювати зірку, ми не замислюючись, намалюємо п'ятикутну, а коли співрозмовник здивується: «Це символ колишнього СРСР!», ми можемо відповісти: «Конюшні!».
Пентаграма, або п'ятикутна зірка, правильний п'ятикутник, освоєне всім людством. Не менше чверті країн, включаючи США та колишній СРСР, включили його до своїх емблем. У дитинстві ми вчилися малювати п'ятикутну зірочку, не відриваючи олівця від сторінки. У зрілому віці вона стає нашою дороговказною зіркою, незмінною, далекою, символом надії та долі, оракулом. Давайте подивимося на це збоку.
Про що нам кажуть зірки?
Історики сходяться на думці: до VII століття до нашої ери інтелектуальна спадщина народів Європи залишалася в тіні культур Вавилону, Єгипту та Фінікії. І раптом шосте століття приносить відродження і такий бурхливий розвиток культури і науки, що деякі журналісти (наприклад, Денікен) стверджують — важко сказати, чи вірять вони самі в це, що це було б неможливо без втручання в'язнів. з космосу.
Коли справа доходить до Греції, випадок має раціональне пояснення: в результаті міграції народів жителі Пелопоннеського півострова більше дізнаються про культуру сусідніх країн (наприклад, літери фінікійських проникають до Греції і вдосконалюють алфавіт), а самі починають колонізувати Середземноморський басейн. Це завжди дуже сприятливі умови для розвитку науки: незалежність у поєднанні з контактами зі світом. Без незалежності ми прирікаємо себе долю бананових республік Центральної Америки, без контактів – на Північну Корею.
Числа мають значення
VI століття до нашої ери було особливим віком в історії людства. Не знаючи чи, можливо, не чуючи один про одного, троє великих мислителів вчили: Будда, Конфуцій i Піфагор. Перші дві створили релігії та філософські системи, які живуть досі. Чи обмежена роль третього їх відкриттям тієї чи іншої властивості конкретного трикутника?
На рубежі VII і VI століть (бл. 624 – бл. 546 до н. е.) у Мілеті у сучасній Малій Азії жив Такі. В одних джерелах говориться, що він був ученим, в інших — що він був багатим купцем, а треті називають його підприємцем (очевидно, в один рік він купив усі олійні преси, а потім позичив їх за лихварську плату). Деякі, згідно з нинішньою модою і зразком заняття наукою, бачать у ньому, у свою чергу, покровителя: мабуть, він запросив мудреців, нагодував їх і почастував, а потім сказав: «Ну, працюйте на славу мене та всіх Наука». Однак багато серйозних джерел схиляються до твердження, що Фалеса, плоті та крові, взагалі не існувало, а його ім'я лише служило уособленням конкретних ідей. Як було, так було і ми, мабуть, уже ніколи не впізнаємо. Історик математики Еге. Д. Сміт писав, що якби не було Фалеса, не було б і Піфагора, і нікого подібного до Піфагора, а без Піфагора не було б ні Платона, ні такого, як Платон. Швидше за все. Залишимо, однак, осторонь, що було б, якби.
Піфагор (бл. 572 - бл. 497 до н. е.) викладав у Кротоні на півдні Італії, і саме там зародився інтелектуальний рух, названий на честь майстра: піфагорійство. Це був етико-релігійний рух і об'єднання, заснований, як ми б назвали це сьогодні, на таємницях і таємних навчаннях, що розглядав вивчення науки як один із засобів очищення душі. Протягом життя одного-двох поколінь піфагореїзм пройшов звичайні стадії розвитку ідей: початкове зростання та розширення, криза та занепад. По-справжньому великі ідеї не закінчують життя на цьому і ніколи не вмирають назавжди. Інтелектуальне вчення Піфагора (він сам винайшов термін, який сам себе називав: філософ, або друг мудрості) та його учнів домінувало у всій старовині, потім повернулося до Відродження (під ім'ям пантеїзму), і ми насправді знаходимося під його впливом. сьогодні. Принципи піфагорійства настільки укорінилися в культурі (принаймні, європейській), що ми важко усвідомлюємо, що могли б думати інакше. Ми здивовані не менше за мольєрівського пана Журдена, який здивувався, дізнавшись, що все життя говорив прозою.
Основною ідеєю піфагорійства було переконання, що світ влаштований за суворим планом та гармонією, і що покликання людини полягає в тому, щоб пізнати цю гармонію. І саме міркування гармонії світу становить вчення піфагореїзму. Піфагорійці, безумовно, були і містиками, і математиками, хоча сьогодні їх легко так недбало класифікувати. Вони проклали шлях. Вони розпочали свої дослідження гармонії світу, спочатку вивчаючи музику, астрономію, арифметику та.
Хоча людство піддалося магії «назавжди», лише піфагорійська школа звела її до загальнозастосовного закону. «Світом правлять числа» – це гасло було найкращою характеристикою школи. Числа мали душу. Кожен щось означав, кожен щось символізував, кожен відбивав частинку цієї гармонії Всесвіту, тобто. космос. Саме слово означає «порядок, порядок» (читачі знають, що косметика розгладжує обличчя та покращує красу).
Різні джерела дають різні значення, які піфагорійці надавали кожному числу. Так чи інакше, те саме число могло символізувати кілька понять. Найважливішими були шість (досконале число) я десять – сума послідовних чисел 1+2+3+4, які з інших чисел, символіка яких збереглася донині.
Отже, Піфагор вчив, що числа - це початок і джерело всього, що - якщо вигадати - вони "змішуються" один з одним, і ми бачимо лише результати того, що вони роблять. Створена, а точніше розвинена Піфагором, містика чисел не має сьогодні «хорошого друку» і навіть серйозні автори бачать тут суміш «пафосу та абсурду» чи «науки, містики та чистої натяжки». Важко зрозуміти, як відомий історик Олександр Кравчук міг написати, що Піфагор та його учні наповнювали філософію баченнями, міфами, забобонами – наче він нічого не розумів. Тому що це виглядає так тільки з погляду нашого XNUMX століття. Піфагорійці нічого не напружували, вони створювали свої теорії абсолютно сумлінно. Можливо, через кілька століть хтось напише, що вся теорія відносності була абсурдною, пафосною і натягнутою. А числова символіка, що відокремлювала нас від Піфагора на чверть мільйона років, глибоко проникла у культуру і стала її частиною, як і грецькі та німецькі міфи, середньовічні лицарські билини, російські народні казки про Кость чи бачення Юліуша Словацького Слов'янський Папа.
Загадкова ірраціональність
У геометрії піфагорійці були вражені figurami podobnymi. І саме під час аналізу теореми Фалеса, основного закону про правила подібності, сталася катастрофа. Були виявлені непорівнянні перерізи, отже, і ірраціональні числа. Епізоди, які неможливо виміряти якоюсь загальною мірою. Числа, які є пропорціями. І це було виявлено в одній із найпростіших форм: квадраті.
Сьогодні у шкільній науці ми обходимо цей факт, майже не помічаючи його. Діагональ квадрата дорівнює √2? Добре, скільки це може бути одно? Натискаємо на калькуляторі дві кнопки: 1,4142… Добре, ми вже знаємо, що таке квадратний корінь із двох. Який? Це ірраціонально? Напевно, це тому, що ми використовуємо такий дивний знак, але ж насправді це 1,4142. Адже калькулятор не бреше.
Якщо читач думає, що я перебільшую, то дуже добре. Зважаючи на все, у польських школах не так погано, як, наприклад, у британських, де вся справа незмірність десь між казками.
У польській мові слово «ірраціональний» не таке страшне, як його аналог в інших європейських мовах. Раціональні числа там раціональні, rationnel, razional, т.е.
Розглянемо міркування про те, що √2 це ірраціональне число, тобто це будь-яка дріб від p/q, де p і q — цілі числа. Говорячи сучасною мовою, це так… Припустимо, що √2 = p/q і що цей дріб вже не можна вкоротити. Зокрема, і p, і q непарні. Зводимо до квадрата: 2q2=p2. Число p не може бути непарним, тому що тоді p2 теж було б, а в лівій частині рівності стоїть кратне 2. Отже, p парно, тобто p = 2r, отже, p2=4р2. Скоротимо рівняння 2q2=4р2. ми отримуємо д2=2р2 і ми бачимо, що q має бути парним, а ми припустили, що це не так. Отримано суперечність доказ закінчується – ви можете знайти цю формулу раз у раз у кожній математичній книзі. Це непрямий доказ - улюблений прийом софістів.
Підкреслю, однак, що це сучасна міркування — такого розвиненого апарату алгебри у піфагорійців не було. Вони шукали загальну міру сторони квадрата та його діагоналі, що навело їх на думку, що такої спільної міри бути не може. Припущення про його існування призводить до суперечності. Тверда земля вислизала з-під ніг. Все має вміти описуватись числами, а діагональ квадрата, яку будь-хто може провести паличкою по піску, не має довжини (тобто виміряна, бо інших чисел немає). «Наша віра була марною», — кажуть піфагорійці. Що робити?
Робилися спроби врятуватись сектантськими методами. Кожен, хто посміє виявити існування ірраціональних чисел, буде відданий на смерть, і, мабуть, сам майстер — всупереч заповіді лагідності — виконує перший вирок. Тоді все стає завісою. За однією версією піфагорійці вбиті (дещо врятовані і завдяки їм вся ідея не знесена до могили), за іншою – самі учні, такі слухняні, виганяють обожнюваного майстра і він десь закінчує своє життя у вигнанні. Секта припиняє своє існування.
Всі ми знаємо вислів Уїнстона Черчілля: «Ніколи в історії людських конфліктів так багато людей не були такими багатьма зобов'язані настільки небагатьом». Йшлося про льотчиків, які захищали Англію від німецької авіації 1940 року. Якщо замінити "людські конфлікти" на "людські думки", то приказка застосовна до жменьки піфагорійців, які врятувалися (так мало) від погрому наприкінці XNUMX-х рр. VI століття до Різдва Христового.
Тож «думка пройшла неушкодженою». Що далі? Настає золоте століття. Греки перемагають персів (Марафон - 490 до н. Е., Платежі - 479 р.). Демократія зміцнюється. Виникають нові центри філософської думки та нові школи. Послідовники піфагорійства стикаються із проблемою ірраціональних чисел. Дехто каже: «Ми не осягнемо цю таємницю; ми можемо лише споглядати його та захоплюватися Uncharted». Останні більш прагматичні і не поважають Тайну: «Якщо щось не так з цими цифрами, дамо їм спокій, років через якісь 2500 все стане відомо. Може, чи не цифри правлять світом? Приступимо до геометрії. Важливі не числа, які пропорції і співвідношення».
Прихильники першого напряму відомі історикам математики як акустикаВони прожили ще кілька століть і все. Останні назвали себе математики (Від грецького mathein = знати, вчитися). Нам не треба нікому пояснювати, що саме такий підхід і переміг: він прожив двадцять п'ять століть і процвітає.
Перемога математиків над аузматикою виразилася, зокрема, у появі нового символу піфагорійців: відтепер це була пентаграма (pentás = п'ять, gramma = літера, напис) - правильний п'ятикутник у формі зірки. Його гілки перетинаються надзвичайно пропорційно: ціле завжди відноситься до більшої частини, а більша частина до меншої частини. Він називався божественна пропорція, потім секуляризований на золото. Стародавні греки (а за ними і весь європоцентричний світ) вважали, що ця пропорція найбільш приємна для людського ока, і зустрічали її практично скрізь.
(Кіпріан Камілла Норвід, Прометідіон)
Закінчу ще одним уривком цього разу з поеми «Фауст» (переклад Владислава Августа Костельського). Ну а пентаграма – це ще й зображення п'яти почуттів та знаменитої «ступні чарівника». У поемі Гете доктор Фауст хотів захиститись від диявола, намалювавши цей символ на порозі свого будинку. Він зробив це недбало, і ось що вийшло:
Фауст
Мефістофелес
Фауст
І це все про звичайний п'ятикутник на початку нового навчального року.
