Нова математика машин? Елегантні візерунки та безпорадність

На думку деяких експертів, машини можуть винаходити або, якщо хочете, відкривати нову математику, яку ми, люди, ніколи не бачили і не придумали б. Інші стверджують, що машини нічого не винаходять самі собою, вони можуть лише по-іншому представляти відомі нам формули, а з деякими математичними завданнями вони взагалі не справляються.

Нещодавно група вчених з Інституту Техніон в Ізраїлі та Google представила автоматизована система створення теоремяку вони назвали машиною Рамануджана на честь математика Шрінівасі Рамануджанаякі розробили тисячі новаторських формул у теорії чисел практично без формальної освіти. Система, розроблена дослідниками, перетворила низку оригінальних та важливих формул на універсальні константи, які з'являються в математиці. Робота на цю тему була опублікована у журналі Nature.

Одну з формул, вироблених машиною, можна використовуватиме обчислення значення універсальної константи, званої Каталонський номербільш ефективно, ніж використання раніше відомих формул, відкритих людиною. Проте вчені стверджують, що Автомобіль Рамануджана він призначений у тому, щоб відібрати математику в людей, а скоріш у тому, щоб запропонувати допомогу математикам. Однак це не означає, що їхня система позбавлена ​​амбітності. Як вони пишуть, Машина «намагається наслідувати математичну інтуїцію великих математиків і давати підказки для подальших математичних пошуків».

Система робить припущення про значення універсальних констант (таких як), записаних у вигляді елегантних формул, які називають безперервними дробами або безперервними дробами (1). Так називається спосіб вираження дійсного числа у вигляді дробу у спеціальній формі або межа таких дробів. Безперервний дріб може бути кінцевим або мати нескінченно багато приватних_i/b_i; фракція А_k/B_k отримане відкиданням у безперервному дробі неповних приватних, починаючи з (k + 1)-го, називається k-м редуктом і може бути обчислено за формулами:_-1=1,A₀=b₀, В_-1=0,₀=1, А_k=b_kA_к-1+a_kA_к-2, В_k=b_kB_к-1+a_kB_к-2; якщо послідовність редуктів сходиться до кінцевої межі, то безперервний дріб називається сходящою, в іншому випадку - біжучою; безперервний дріб називається арифметичним, якщо_i=1, стор₀ завершено, б_i (i>0) – натуральний; безперервний арифметичний дріб сходиться; кожне дійсне число розширюється до безперервного арифметичного дробу, який кінцевий тільки для раціональних чисел.

1. Приклад запису Пі у вигляді безперервного дробу

Алгоритм машини Рамануджана вибирає будь-які універсальні константи для лівої частини та будь-які безперервні дроби для правої частини, а потім обчислює кожну частину окремо з деякою точністю. Якщо обидві сторони здаються такими, що перекриваються, кількості розраховуються з більшою точністю, щоб гарантувати, що збіг не є збігом або неточністю. Що важливо, вже існують формули, що дозволяють обчислити значення універсальних констант, наприклад, з будь-якою точністю, тому єдиною перешкодою у перевірці відповідності сторінок є час обчислень.

Перш ніж впроваджувати подібні алгоритми, математикам доводилося використовувати існуючий. математичні знання i теоремизробити таке припущення. Завдяки автоматичним припущенням, які генеруються алгоритмами, математики можуть використовувати їх для відтворення прихованих теорем або більш «елегантних» результатів.

Найпомітнішим відкриттям дослідників є не так нове знання, як нове припущення дивовижної важливості. Це дозволяє розрахунок каталонської постійної, універсальна константа, значення якої необхідно у багатьох математичних завданнях Вираз його у вигляді безперервного дробу в нещодавно відкритому припущенні дозволяє виконувати найшвидші обчислення на сьогоднішній день, перемагаючи раніші формули, які вимагали більше часу для комп'ютерної обробки. Це, здається, знаменує нову точку прогресу для комп'ютерних наук порівняно з тим, коли комп'ютери вперше обіграли шахістів.

З чим не може впоратися ІІ

Алгоритми машини Як бачите, з деякими речами вони справляються інноваційним та ефективним способом. Зіткнувшись з іншими проблемами, вони безпорадні. Група дослідників з Університету Ватерлоо у Канаді виявила клас завдань, використовуючи машинне навчання. Відкриття пов'язане з парадоксом, описаним у середині минулого століття австрійським математиком Куртом Ґеделем.

Математик Шай Бен-Девід та його команда представили модель машинного навчання, яка називається максимальним передбаченням (EMX), у публікації в журналі Nature. Здавалося б, просте завдання виявилося нездійсненним для штучного інтелекту. Проблема, поставлена ​​командою Шай Бен-Давід зводиться до прогнозування найвигіднішої рекламної кампанії, орієнтованої на найчастіше відвідуваних сайт читачів. Кількість можливостей настільки велика, що нейронна мережа не в змозі знайти функцію, яка правильно прогнозуватиме поведінку користувачів сайту, маючи у своєму розпорядженні лише невелику вибірку даних.

Виявилося, деякі проблеми, поставлені нейронними мережами, еквівалентні континуум-гіпотезі, поставленої Георгом Кантором. Німецький математик довів, що потужність безлічі натуральних чисел менша за потужність безлічі дійсних чисел. Потім він поставив питання, на яке не зміг відповісти. А саме, він ставив питання, чи існує безліч, потужність якого менша, ніж потужність набір дійсних чиселале більше сили набір натуральних чисел.

Австрійський математик XNUMX століття. Курт Гедель довів, що гіпотеза континууму не можна вирішити в поточній математичній системі. Тепер з'ясовується, що зі схожою проблемою зіштовхнулися математики, що проектують нейронні мережі.

Отже, хоч і непомітна нам, як бачимо, вона безпорадна перед принциповими обмеженнями. Вчені задаються питанням, якщо з проблемами цього класу, такими як нескінченні множини, наприклад.