Чому ми не ділимо на нуль?

Читачі можуть здивуватися, чому я присвячую цілу статтю такому банальному питанню? Причина в приголомшливій кількості студентів (!), що недбало проводять операцію під назвою. І не лише студенти. Іноді ловлю та вчителів. Що зможуть робити з математики учні таких учителів? Безпосереднім приводом для написання цього тексту стала бесіда з учителем, для якого поділ на нуль не був проблемою.

З нулем, так, крім клопоту взагалі нічого, тому що нам не особливо потрібно його використовувати у повсякденному житті. Ми не ходимо в магазин за нуль яєць. "У кімнаті одна людина" звучить якось природно, а "нуль людей" - штучно. Лінгвісти кажуть, що нуль перебуває поза мовною системою.

Ми можемо обійтися без нуля і в банківських рахунках: просто використовуючи – як на термометрі – червоний та синій для позитивних та негативних значень (зверніть увагу, що для температури природно використовувати червоний колір для позитивних чисел, а для банківських рахунків – навпаки, тому що дебет повинен викликати попередження, тому рекомендується використовувати червоний колір).

Включивши нуль як натуральне число, ми торкнемося проблеми диференціювання Кількісні числівники od домашнє господарство. У межах 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….

потужність числа збігається з числом місця, де воно стоїть. В іншому випадку він вже знаходиться в послідовності 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….

Кількість одноелементних наборів йде другим, кількість наборів із двома елементами йде третім тощо. Доводиться пояснювати, чому, наприклад, ми не нумеруємо місця спортсменів у змаганнях на порожньому місці. Потім той, хто посів перше місце, отримував срібну медаль (золото діставалося переможцю, який посів нульове місце) і т. д. Дещо схожа процедура використовувалася у футболі — не знаю, чи Читачі знають, що «перша ліга» означає «наступна за найкращою». ", А нульова ліга називається стати "вищою лігою".

Іноді ми чуємо аргумент, що треба починати з нуля, бо це зручно для айтішників. Продовжуючи ці міркування, слід змінити визначення кілометра – воно має бути 1024 м, тому що ця кількість байтів у кілобайті (пошлюся на відомий комп'ютерникам анекдот: “Чим відрізняється першокурсник від студент інформатики та студент п'ятого курсу цього факультету? що кілобайт це 1000 ? – що кілометр це 1024 метри»)!

Інша точка зору, до якої вже слід ставитись серйозно, полягає в наступному: ми завжди вимірюємо з нуля! Досить подивитися на будь-яку шкалу на лінійці, на побутових терезах, хоч на годиннику. Оскільки ми вимірюємо від нуля, а підрахунок можна розуміти як вимір безрозмірною одиницею, то й слід вважати від нуля.

Справа проста, але…

Залишимо загальні міркування і повернемося до поділу на нуль. Справа проста і була б проста, якби не… ну і що? Давайте подумаємо, спробуємо. Скільки це може бути один розділити на нуль? Подивимося: 1/0 = х. Помножуємо обидві частини на знаменник лівої частини.

Отримуємо 1=0. Щось не так! Що трапилося? Ах, припущення! Припущення, що існує приватна одиниця і нуль, призводить до суперечності. І якщо одне не можна розділити на нуль, можна й інше число. Якщо, Читаче, ти знизиш плечима і здивуєшся, чому автор (тобто я) пише про такі банальності, то… я дуже радий!

Формулу 0/0 = 0 можна було б відстоювати на завзятому, але вона суперечить правилу у тому, що результат розподілу числа самого себе дорівнює одиниці. Абсолютно іншими є такі символи, як 0/0, °/° і їм подібні в математичному аналізі. Вони не означають жодної кількості, а є символічним позначенням приватних послідовностей певних типів.

У книзі електротехніки я знайшов цікаве порівняння: ділити на нуль так само небезпечно, як електрика високої напруги. Це нормально: закон Ома свідчить, що відношення напруги до опору дорівнює струму: V = U / R. Якби опір дорівнював нулю, по провіднику протікав би струм теоретично нескінченної сили, спалюючи всі можливі провідники.

Якось я написав вірш про небезпеку поділу на нуль — щодня. Пам'ятаю, що найдраматичнішим днем ​​був четвер, але шкода всю мою роботу в цій галузі.

Коли ділиш щось на нуль

Дуже ранній понеділок

Тиждень, що щойно сталося

Ви вже зовсім невдало.

Коли у вівторок після обіду,

Ви ставите нуль у знаменнику

Я скажу вам тоді, ви помиляєтесь

Поганий мій математик!

Коли через нуль, через перекрученість,

Хочеш розділити у середу,

У тебе буде багато неприємностей

У тебе сіно та вода в голові!

З нами був Бартек.

Він був не в злагоді з правилами.

У четвер він ділиться на нуль.

Його більше немає між нами!

Якщо дивне бажання заволодіє тобою,

Ділити на нуль у п'ятницю,

Скажу прямо, чесно:

Поганий початок цих вихідних.

Коли буде нуль, десь у суботу

Дільник буде твоїм (не сміливим)

Станьте на коліна під церковною огорожею.

Це ваше недільне покаяння.

Хочеш нуль під тире,

Постав свято в неділю,

Принесіть крейду, чорну дошку.

Пишіть: на нуль не поділяється!

Нуль асоціюється з порожнечею та небуттям. Справді, він прийшов у математику як величина, яка при додаванні до будь-якої не змінює її: х + 0 = х. Але тепер нуль з'являється у кількох інших значеннях, насамперед як початок шкали. Якщо за вікном немає ні плюсової температури, ні морозу, то це нуль, що не означає, що температури немає зовсім. Пам'ятка нульового класу - це не той, який давно знесений і його просто нема. Навпаки – це щось на зразок Вавеля, Ейфелевої вежі та Статуї Свободи.

Що ж, важливість нуля у позиційній системі важко переоцінити. Ви знаєте, Читаче, скільки нулів у Білла Гейтса на його банківському рахунку? Не знаю, але я хотів би половину. Мабуть, Наполеон Бонапарт помітив, що люди подібні до нулів: вони набувають сенсу завдяки становищу. У фільмі Анджея Вайди "З роками, з плином днів" пристрасний художник Єжи вибухає: "Філістер - це нуль, нігіл, нічого, нічого, нігіл, нуль". Але нуль може бути добрим: «нульове відхилення від норми» означає, що все йде гаразд, і так тримати!

Повернемося до математики. Нуль можна додавати, віднімати та множити безкарно. "Я набрала нуль кілограмів", - говорить Маня Ані. «І це цікаво, тому що я схудла на ту саму вагу», — відповідає Аня. Так що давай з'їмо шість нуль порцій морозива шість разів, це нам не зашкодить.

Ми не можемо ділити на нуль, але ми можемо ділити на нуль. Тарілку з нульовими галушками можна легко роздати тим, хто чекає на їжу. Скільки отримає кожен?

Нуль не є позитивним чи негативним. Це і число непозитивнийи невід'ємний. Він відповідає нерівностям x≥0 і x≤0. Суперечність «щось позитивне» — це «щось негативне», а «щось негативне чи рівне нулю». Математики, всупереч правилам мови, завжди будуть говорити, що щось «рівно нулю», а не «нулю». Щоб виправдати цю практику, ми маємо: якщо ми читаємо формулу x = 0 «x дорівнює нулю», то x = 1 ми читаємо «x і одиниці», що можна було б проковтнути, але як щодо «x = 1534267»? Ви також не можете присвоїти числове значення символу 0⁰ні звести нуль у негативний ступінь. З іншого боку, можна рутувати нуль за бажанням… і результат завжди буде нульовим, 

Експонентна функція у = а^x, Позитивна основа a, ніколи не стає рівним нулю. Звідси випливає, що нульового логарифму немає. Справді, логарифм а на підставі b є показник ступеня, в який треба звести основу, щоб отримати логарифм а. При а = 0 такого показника немає, і нуль може бути підставою логарифма. Проте нуль у «знаменнику» символу Ньютона — щось інше. Ми вважаємо, що ці угоди не призводять до суперечності.

Неправдиві докази

Поділ на нуль — звичайна тема для хибних доказів, і це трапляється навіть із досвідченими математиками. Дозвольте мені навести вам два мої улюблені приклади. Перший - алгебраїчний. Я доведу, що всі числа рівні. Припустимо, є два числа, які не рівні. Отже, один з них більший за інший, нехай а > Ь. Припустимо, що з їх різниця

с = а - Ь. Отже, маємо а – Ь = с, звідки а = Ь + с.

Помножуємо обидві частини останнього на a – b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Перекладаю як у ліву сторону, звичайно пам'ятаю про зміну знака:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Я виключаю загальні фактори:

А(а-б-в) = б(а-б-в),

Я ділюся, і в мене є те, що я хотів:

а = б.

І насправді ще дивнішим, тому що я припускав, що a > b, і я отримав, що a = b, Якщо у наведеному вище прикладі «обман» легко розпізнати, то в геометричному доказі нижче це не так просто. Я доведу, що трапеції не існує. Фігури, зазвичай званої трапецією, немає.

Але припустимо спочатку, що є така річ, як трапеція (ABCD на малюнку нижче). Він має дві паралельні сторони («підстави»). Протягнемо ці підстави, як показано на картинці, так, щоб вийшов паралелограм. Його діагоналі ділять іншу діагональ трапеції на відрізки, довжини яких позначаються x, y, z, як у малюнок 1. З відповідності відповідних трикутників отримуємо пропорції:

звідки визначаємо:

Тепер

звідки визначаємо:

Віднімаємо сторони рівності, відмічені зірочками:

 Укоротивши обидві сторони на x − z, отримаємо – a/b = 1, отже, a + b = 0. Але числа a, b – це довжини основ трапеції. Якщо їхня сума дорівнює нулю, то й вони самі дорівнюють нулю. Це означає, що фігура, подібна до трапеції, існувати не може! Оскільки прямокутники, ромби і квадрати — це теж трапеції, то, шановний Читач, і ромбів, прямокутників і квадратів теж немає…

Вгадай-вгадай

Ділитись інформацією — це найцікавіше та найскладніше з чотирьох основних дій. Тут ми вперше стикаємося з явищем, настільки поширеним у дорослому віці: «вгадай відповідь, а потім перевір, чи правильно ти вгадав». Це дуже точно висловив Деніел К. Деннет («Як робити помилки?», «Як це — науковий довідник по Всесвіту», CiS, Варшава, 1997):

Цей метод «вгадування» не заважає нашому зрілому життю — можливо, тому, що ми вчимося йому рано і вгадувати не важко. Ідеологічно те саме явище відбувається, наприклад, у математичній (повній) індукції. Там же ми «вгадуємо» формулу і потім перевіряємо, чи вірна наша здогад. Студенти завжди запитують: Звідки нам було знати закономірність? Як його можна вивести? Коли студенти ставлять мені це питання, я перетворюю їх на жарт: «Я знаю це, тому що я професіонал, тому що мені за це платять, щоб я знав». Учням у школі можна відповісти у тому самому стилі, лише серйозніше.

Вправа. Врахуйте, що ми починаємо складання та письмове множення з одиниці нижчого порядку, а поділ з одиниці вищого порядку.

Поєднання двох ідей

Викладачі математики завжди вказували, що те, що ми називаємо поділом у дорослому віці, є союзом двох концептуально різних ідей: Корпус i поділ.

Перший з них (Корпус) зустрічається у завданнях, де архетипом є:

Розділити-розділити це такі завдання як:

? (Ми зберігаємо первісний стиль цього завдання, взятий з довідника Юліана Згозалевича, виданого в Кракові в 1892 р. – злотий – це рейнський злотий, валюта, що мала ходіння в Австро-Угорській імперії до початку XNUMX століття).

Тепер розглянемо два завдання з найстаріший підручник математики польською мовою, Батько Томаш Клос (1538 р.). Це дивізія чи купе? Вирішіть її так, як належить школярам у XNUMX столітті:

(Переклад з польської на польську: У бочці є кварта і чотири горщики. Горщик – чотири кварти. Хтось купив 20 бочок вина за 50 злотих для торгівлі. Мито та податок (акциз?) складатиме 8 злотих. Скільки продати кварту, щоб заробити 8 злотих?)

Спорт, фізика, конгруентність

Іноді у спорті доводиться щось ділити на нуль (коефіцієнт голів). Ну, судді якось із цим справляються. Проте в абстрактній алгебрі вони стоять на порядку денному. ненульові кількостіквадрат якого дорівнює нулю. Це навіть можна просто пояснити.

Розглянемо функцію F, яка ставить у відповідність точку (y, 0) точці площини (x, y). Що таке Ф², тобто подвійне виконання F? Нульова функція – кожна точка має зображення (0,0).

Нарешті ненульові величини, квадрат яких дорівнює 0, є майже хлібом насущним для фізиків, а числа виду a + bε, де ε ≠ 0, але ε² = 0, математики називають подвійні номери. Вони зустрічаються в математичному аналізі та в диференціальній геометрії.

Зрештою, в арифметиці є щось, що хоча б у назві має поділ на нуль. Це походить від конгруентність. Нехай Z означає безліч цілих чисел. Розподіл множини Z на p означає, що ми прирівнюємо кожне число (ціле число) до деяких інших, а саме до таких, на які ділиться їхня різниця. Отже, коли ми маємо п'ять типів чисел, що відповідають числам 0, 1, 2, 3, 4 – можливі залишки при розподілі на 5. Формула записується так:

мод, коли різниця кратна.

При = 2 у нас є лише два числа: 0 і 1. Поділ цілих чисел на два такі класи рівносильний поділу їх на парні та непарні. Замінимо зараз. Різниця завжди ділиться на 1 (будь-яке ціле число ділиться на 1). А чи можна взяти =0? Спробуємо: коли різниця двох чисел кратна нулю? Тільки коли ці два числа дорівнюють. Тому ділити набір цілих чисел на нуль має сенс, але це нецікаво: нічого не відбувається. Однак слід підкреслити, що це не розподіл чисел у відомому з початкової школи сенсі.

Такі дії просто заборонені, як довга і широка математика.

Рис. 2. Ідентифікація чисел за допомогою порівняння

(режим 5 і режим 2)