Подорож у нереальний світ математики

Я написав цю статтю в одне із серед, після лекції та практики в коледжі комп'ютерних наук. Я захищаюся від критики учнів цієї школи, їх знань, ставлення до науки та найголовніше: навичок навчання. Цьому... їх ніхто не вчить.

Чому я так захищаюсь? З простої причини – я в такому віці, коли, мабуть, навколишній світ ще не зрозумілий. Може, я вчу їх запрягати та розпрягати коней, а не водити машину? Може, я вчу їх писати гусячим пером? Хоч я й найкращої думки про людину, я вважаю, що я “слідую”, але…

Донедавна у середній школі говорили про комплексні числа. І саме цієї середи я прийшов додому, звільнився — майже ніхто зі студентів ще не дізнався, що це таке і як користуватися цими цифрами. Деякі дивляться на всю математику, як гусак на розписні двері. Але щиро здивувався, коли мені розповіли, як навчитися. Простіше кажучи – кожну годину лекції – це дві години занять вдома: читання підручника, початкове навчання розв'язання завдань із заданої теми тощо. Підготувавшись таким чином, ми приходимо на вправи, де все вдосконалюємо… Приємно студенти, мабуть, думали, що сидіти на лекції – найчастіше дивлячись у вікно – гарантує вже входження знань у голову.

Зупинятись! Достатньо цього. Опишу свою відповідь на запитання, яке я одержав під час занять зі стипендіатами Національного дитячого фонду – установи, яка підтримує талановитих дітей з усієї країни. Питання (точніше пропозиція) було:

— Чи не могли б ви розповісти нам щось про нереальні числа?

- Звичайно, - відповів я. 

Реальність чисел

"Друг - це інший я, дружба - це співвідношення чисел 220 і 284", - говорив Піфагор. Справа тут у тому, що сума дільників числа 220 дорівнює 284, а сума дільників числа 284 дорівнює 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Зауважимо до речі, що біблійний Яків подарував Ісаву 220 овець і баранів на знак дружби (Буття 32:14).

Ще один цікавий збіг між числами 220 і 284 полягає в наступному: сімнадцять старших простих чисел - це 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , та 59.

Їхня сума 2×220, а сума квадратів 59×284.

Перший. Немає поняття “дійсне число”. Це схоже на те, як після прочитання статті про слонів ви питаєте: «А тепер ми збираємося попросити неслонів». Є цілі та нецілі, раціональні та ірраціональні, але нереальних немає. Саме: числа, які є дійсними, не називаються недійсними. У математиці є багато типів «чисел», і вони відрізняються один від одного, як візьмемо зоологічне порівняння — слон і дощовий черв'як.

По-друге, ми виконуватимемо операції, які, як ви, можливо, вже знаєте, заборонені: вилучення квадратних коренів із негативних чисел. Що ж, математика подолає такі бар'єри. Хоча чи є у цьому сенс? В математиці, як і в будь-якій іншій науці: чи ввійде теорія назавжди до сховища знань, залежить від її застосування. Якщо воно марно, то потрапляє в смітник, то в якийсь мотлох історії знання. Без цифр, про які я говорю наприкінці цієї статті, неможливо розвивати математику. Але давайте почнемо з деяких дрібниць. Що таке реальні цифри, ви знаєте. Вони заповнюють числовий рядок щільно та без перепусток. Ви також знаєте, що таке натуральні числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. – всі вони не вмістяться у пам'яті навіть найбільшого. Вони теж мають гарну назву: натуральні. Вони мають багато цікавих властивостей. Як вам це:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"Природно цікавитися натуральними числами", - сказав Карл Лінденхольм, а Леопольд Кронекер (1823-1891) висловився коротко: "Бог створив натуральні числа - все інше - справа рук людини!" Дроби (звані математиками раціональними числами) також мають дивовижні властивості:

і в рівності:

можна, починаючи з лівого боку, потерти плюси і замінити їх знаками множення - і рівність залишиться вірною:

І так далі.

Як відомо, для дробів a/b, де a та b — цілі числа, а b ≠ 0, кажуть раціональне число. Але тільки польською вони себе так називають. Розмовляють англійською, французькою, німецькою та російською мовами. раціональне число. Англійською мовою: раціональні числа. Ірраціональні числа це ірраціонально, ірраціонально. Ми також говоримо по-польському про ірраціональні теорії, ідеї та справи — це безумство, уявне, незрозуміле. Кажуть, що жінки бояться мишей — чи не так, наскільки це ірраціонально?

У давнину у чисел була душа. Кожен щось означав, кожен щось символізував, кожен відбивав частинку гармонії Світобудови, тобто, по-грецьки, Космосу. Саме слово "космос" означає саме "порядок, порядок". Найбільш важливими були шість (досконале число) і десять сума послідовних чисел 1+2+3+4, складених з інших чисел, символіка яких збереглася до наших днів. Так Піфагор вчив, що числа є початок і джерело всього, і лише відкриття ірраціональні числа обернув піфагорійський рух у бік геометрії. Ми знаємо міркування зі школи, що

√2 - ірраціональне число

Бо припустимо, що є: і що цей дріб не може бути скорочений. Зокрема, і p, і q непарні. Зводимо до квадрата: 2q²=p². Число p не може бути непарним, тому що тоді p² теж було б, а в лівій частині рівності стоїть кратне 2. Отже, p парно, тобто p = 2r, отже, p²=4р². Скоротимо рівняння 2q²=4р² на 2. Отримуємо q²=2р² і ми бачимо, що q має бути парним, а ми припустили, що це не так. Отримана суперечність завершує доказ - Цю формулу часто можна зустріти в кожній математичній книзі. Це непрямий доказ - улюблений прийом софістів.

Ця безмірність не могла бути зрозуміла піфагорійцями. Все має вміти описуватися числами, а діагональ квадрата, яку будь-хто може провести паличкою по піску, немає, тобто вимірна, довжини. «Наша віра була марною», — ніби кажуть піфагорійці. Як так? Це якось… ірраціонально. Спілка намагалася врятуватися сектантськими методами. Будь-хто, хто посміє розкрити своє існування ірраціональні числа, повинен був бути покараний смертю, і, мабуть, перший вирок виконано сам майстер.

Але «думка пройшла неушкодженою». Настав золотий вік. Греки перемогли персів (Марафон 490, Плах 479). Зміцнилася демократія, виникли нові центри філософської думки та нові школи. Послідовники піфагорійства ще боролися з ірраціональними числами. Деякі проповідували: ми не осягнемо цієї таємниці; ми можемо тільки споглядати це та захоплюватися Uncharted. Останні були прагматичніші і не поважали Таємницю. Тоді з'явилися дві уявні конструкції, дозволили зрозуміти ірраціональні числа. Те, що ми сьогодні досить добре розуміємо їх, належить Евдоксу (V століття до н. е.), і лише наприкінці XIX століття німецький математик Ріхард Дедекінд дав теорії Євдокса належний розвиток відповідно до вимог суворої математичної логіки.

Маса цифр чи тортур

Чи могли б ви жити без чисел? Якби навіть, яке це було б життя… Нам би довелося йти в магазин, щоб купити взуття паличкою, якою ми заздалегідь виміряли довжину стопи. "Хотілося б яблук, ах, ось воно!" – ми показували б продавців на ринку. «Як далеко від Модліна до Нового-Двур-Мазовецького»? "Досить близько!".

Числа використовуються для вимірювання. З їхньою допомогою ми також висловлюємо багато інших понять. Наприклад, масштаб карти показує, наскільки зменшилась площа країни. Шкала "два до одного", або просто 2, висловлює той факт, що щось було збільшено вдвічі. Скажімо математично: кожній однорідності відповідає число – її масштаб.

завдання. Ми зробили ксерографічну копію, збільшивши зображення у кілька разів. Потім збільшений фрагмент знову збільшили b разів. Якою є загальна шкала збільшення? Відповідь: a × b, помножена на b. Ці масштаби потрібно помножити. Число «мінус один» -1 відповідає одній точності, яка центрована, тобто повороту на 180 градусів. А скільки відповідає повороту на 90 градусів? Нема такого номера. Воно є, воно є… вірніше, скоро буде. Ви готові до моральних тортур? Наберіться сміливості та вийміть квадратний корінь із «мінус один». Я слухаю? Що ти не можеш? Зрештою, я сказав тобі бути хоробрим. Витягти це! Ей, ну, тягни, тягни… Я допоможу… Ось: −1 Тепер, коли він у нас є, давайте спробуємо його використати… Звичайно, тепер ми можемо витягувати коріння з усіх негативних чисел, наприклад.

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

– «незалежно від душевних мук, які це спричиняє». Це те, що написав Джироламо Кардано в 1539 році, намагаючись подолати розумові труднощі, пов'язані з як це незабаром стало називатися. уявні величини. Він вважав такі…

...завдання. Розділити 10 на частини, твір яких дорівнює 40. Пам'ятається, з попереднього епізоду він писав приблизно так: Завідомо неможливо. Однак зробимо так: 10 розділимо на дві рівні частини, кожна дорівнює 5. Перемножимо їх - вийшло 25. З отриманих 25 тепер віднімемо 40, якщо завгодно, і вийде -15. Тепер подивіться: √-15, додане та віднімене з 5, дає вам твір 40. Це числа 5-√-15 та 5 + √-15. Перевірка результату була проведена Cardano наступним чином:

«Незалежно від душевних мук, які це спричиняє, помножте 5 + √-15 на 5-√-15. Отримуємо 25 - (-15), що дорівнює 25 + 15. Отже, твір дорівнює 40. Це справді складно».

Ну, скільки це: (1 + √-1) (1-√-1)? Давайте помножимо. Пам'ятайте, що √-1 × √-1 = -1. Здорово. Тепер складніше завдання: від a + b√-1 до ab√-1. Що сталося? Безумовно, так: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Що у цьому цікавого? Наприклад, те, що ми вміємо розкладати на множники вирази, яких ми раніше не знали. Формула скороченого множення для²-b² ви напевно пам'ятаєте і формулу для²+b² цього не було, бо цього не могло бути. В області дійсних чисел багаточлен²+b² це неусувно. Позначимо «наш» квадратний корінь із «мінус один» літерою i.²= -1. Це "нереальне" просте число. І це те, що визначає поворот літака на 90 градусів. Чому? Адже і²= -1, а поєднання одного повороту на 90 градусів та іншого такого ж повороту дає поворот на 180 градусів. Який вид обертання описується? Зрозуміло – поворот на 45 градусів. А що означає число -i? Це трохи складніше:

(-я)² = -я × (-я) = + я² = -1

Отже, -i також описує поворот на 90 градусів, тільки у напрямку, протилежному до обертання i. Який із них лівий, а який правий? Ви маєте записатися на прийом. Ми припускаємо, що число i задає обертання у напрямку, який математики вважають позитивним: проти годинникової стрілки. Число -i визначає обертання у бік руху покажчиків.

Але чи є такі числа, як i і -i? Є! Ми просто втілили їх у життя. Я слухаю? Що вони існують лише у нашій голові? Ну, чого чекати? Всі інші числа також існують лише в нашому розумі. Нам потрібно перевірити, чи виживуть наші новонароджені номери. Точніше, чи логічна конструкція і чи будуть вони для чогось корисні. Будь ласка, повірте мені на слово, що все гаразд і ці нові номери дійсно корисні. Числа типу 3+i, 5-7i, у загальному вигляді: a+bi називаються комплексними числами. Я показав, як ви можете отримати їх, обертаючи літак. Їх можна вводити по-різному: як точки площини, як деякі поліноми, як деякі числові масиви ... і щоразу вони одні й самі: рівняння x² +1=0 елемента немає ... фокус-покус і так вже є!! Будемо радіти і радіти!

Кінець туру

На цьому наша перша екскурсія країною несправжніх чисел закінчується. З інших неземних чисел згадаю ще ті, які мають нескінченно багато цифр попереду, а не ззаду (вони називаються 10-адичними, для нас важливішими є p-адичні, де p — просте число), наприклад X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Давайте порахуємо X, будь ласка². Так як? Що, якщо ми обчислимо квадрат числа, за яким стоїть безліч цифр? Що ж, чинимо так само. Дізнаємось, що Х² = H.

Знайдемо інше таке число з нескінченним числом цифр попереду, що відповідає рівнянню. Підказка: квадрат числа, що закінчується на шість, також закінчується на шість. Квадрат числа, що закінчується на 76, також закінчується на 76. Квадрат числа, що закінчується на 376, також закінчується на 376. Квадрат числа, що закінчується на 9376, також закінчується на 9376. Квадрат числа, що закінчується на XNU Є також числа, які настільки малі, що, будучи позитивними, вони залишаються меншими за будь-яке інше позитивне число. Вони настільки крихітні, що іноді достатньо звести їх у квадрат, щоб отримати нуль. Існують числа, які не задовольняють умові a × b = b × a. Є також нескінченні числа. Скільки є всіх натуральних чисел? Безкінечно багато? Так, але скільки? Яким числом це можна сказати? Відповідь: найменше із нескінченних чисел; він позначений красивою літерою: А та доповнений нульовим індексом А₀ , алеф-нуль.

Є також числа, про існування яких ми не знаємо... або існування яких можна вірити або не вірити, як вам завгодно. І говорячи про подібне: я сподіваюся, вам все ще подобаються Нереальні Числа, Числа Видів Фантазії.