СУ КОМУ, тобто: СПРОБУЙ ДЕ МОЖЕШ – частина 2
У попередньому епізоді ми мали справу з судоку, арифметичною грою, в якій числа переважно розташовуються на різних діаграмах відповідно до певних правил. Найпоширеніший варіант - шахова дошка 9х9, додатково розділена на дев'ять клітин 3х3. Цифри від 1 до 9 повинні бути встановлені на ньому так, щоб вони не повторювалися ні у вертикальному ряду (математики кажуть: у стовпчик), ні в горизонтальному ряду (математики кажуть: у ряді) - і, крім того, щоб вони не повторювалися. повторити у межах будь-якого меншого квадрата.
Na рис. 1 ми бачимо цю головоломку в більш простій версії, яка є квадратом 6 × 6, розділеним на прямокутники 2 × 3. Вставляємо в нього числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 — так, щоб вони не повторювалися ні по вертикалі, ні по горизонталі, ні в кожному із виділених шестикутників.
Давайте спробуємо показано у верхньому квадраті. Чи можете ви заповнити його цифрами від 1 до 6 за правилами, встановленими для цієї гри? Можна – але неоднозначно. Подивимося – домальовуємо квадрат ліворуч або квадрат праворуч.
Можна сказати, що це не є основою для головоломки. Зазвичай ми припускаємо, що головоломка має одне рішення. Завдання пошуку різних підстав для "великої" судоку, 9×9, є складним завданням і повністю вирішити її немає жодних шансів.
Ще один важливий зв'язок – суперечлива система. Нижній середній квадрат (той, що з цифрою 2 у нижньому правому кутку) не може бути завершений. Чому?
Веселощі та відступи
Граємо далі. Скористаємося дитячою інтуїцією. Вони вважають, що розвага — це вступ до навчання. Вийдемо до космосу. увімкнено рис. 2 всі бачать сітку тетраедріз кульок, наприклад, кульок для пінг-понгу? Згадаймо шкільні уроки геометрії. Кольори в лівій частині малюнка пояснюють, до чого приклеюється під час збирання блоку. Зокрема, три кутові (червоні) кульки будуть склеєні в одну. Тому в них має стояти однакове число. Можливо 9. Чому? І чому б ні?
О, я не сформулював це завдання. Звучить це приблизно так: чи можна у видиму сітку вписати числа від 0 до 9 так, щоб кожна грань містила всі числа? Завдання не складне, а скільки треба уявляти! Не псуватиму задоволення читачам і не наводитиму рішення.
Це дуже гарна та недооцінена форма правильний октаедрпобудований з двох пірамід (=пірамід) з квадратною основою. Як випливає з назви, у октаедра вісім граней.
У октаедрі шість вершин. Це суперечить кубякий має шість граней та вісім вершин. Краї обох грудочок однакові – по дванадцять. Це подвійні тверді тіла - Це означає, що з'єднавши центри граней куба ми отримаємо октаедр, а центри граней октаедра дадуть нам куб. Обидві ці шишки виконують («бо повинні») формула Ейлера: Сума кількості вершин та кількості граней на 2 більше, ніж кількість ребер.
3. Правильний октаедр у паралельній проекції та грати октаедра, складені зі сфер таким чином, що кожне ребро має чотири сфери.
Завдання 1. Спочатку запишіть останню пропозицію попереднього абзацу за допомогою математичної формули. на рис. 3 ви бачите октаедричну сітку, що також складається зі сфер. На кожному ребрі по чотири кулі. Кожна грань є трикутником з десяти сфер. Самостійно ставиться завдання: чи можна в кружечки сітки поставити числа від 0 до 9 так, щоб після склеювання суцільного тіла кожна стінка містила всі числа (треба без повторення). Як і раніше, найбільшу складність у цьому завданні є те, як сітка перетворюється на тверде тіло. Я не можу пояснити це письмово, тож і тут не наводжу рішення.
4. Два ікосаедри з кульок для пінг-понгу. Зверніть увагу на іншу колірну схему.
вже Платон (а жив він у V-IV ст. до н.е.) знав усі правильні багатогранники: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр i ікосаедр. Дивно, як він туди потрапив – ані олівець, ані папери, ані ручки, ані книжок, ані смартфону, ані інтернету! Я не говоритиму тут про додекаедр. Але цікава ікосаедрична судоку. Ми бачимо цю грудку на ілюстрація 4та його мережу на рис. 5.
5. Правильна сітка ікосаедра.
Як і раніше, це не сітка в тому сенсі, в якому ми пам'ятаємо (?!) Зі школи, а спосіб склеювання трикутників з куль (кульок).
Завдання 2. Скільки потрібно куль, щоб зібрати такий ікосаедр? Чи залишається правильним таке міркування: оскільки кожна грань — трикутник, якщо граней має бути 20, то потрібно цілих 60 сфер?
6. Сітка ікосаедра зі сфер. Кожне коло є, наприклад, кулькою для пінг-понгу, але побудова гуртків на колі, відзначених одним кольором, зливається в одне ціле. Отже, ми маємо дванадцять сфер (= дванадцять вершин: червона, синя, фіолетова, синя та вісім жовтих).
Неважко помітити, що трьох чисел в ікосаедр недостатньо. Точніше: не можна занумерувати вершини номерами 1, 2, 3 так, щоб кожна (трикутна) грань мала ці три номери і не було повторень. А чи можна із чотирма номерами? Так це можливо! Давайте подивимося на Рис. 6 та 7.
7. Ось як пронумерувати сфери, що становлять ікосаедр, щоб кожна грань містила числа, відмінні від 1, 2, 3, 4. Яке з тіл на рис. 4 пофарбовано таким чином?
Завдання 3. Три з чотирьох чисел можна вибрати чотирма способами: 123, 124, 134, 234. Знайдіть п'ять таких трикутників в ікосаедрі на рис. 7 (а також з ілюстрації. 4).
завдання 4 (Потрібно дуже хороша просторова уява). У ікосаедра дванадцять вершин, а значить, його можна склеїти з дванадцяти куль (рис. 7). Зверніть увагу, що є три вершини (= кулі), позначені цифрою 1, три цифрою 2 і так далі. Таким чином, кульки одного кольору утворюють трикутник. Що то за трикутник? Може рівнобічний? Подивіться ще раз ілюстрації. 4.
Наступне завдання для дідуся/бабусі та онука/онуки. Батьки теж можуть нарешті спробувати свої сили, але їм потрібний терпець і час.
Завдання 5. Купуйте дванадцять (а краще 24) кульок для пінг-понгу, трохи фарби чотирьох кольорів, пензлик і потрібний клей - я не рекомендую швидкі, такі як Суперклей або Крапелька, тому що вони дуже швидко сохнуть та небезпечні для дітей. Приклейте ікосаедр. Одягніть онуку у футболку, яку відразу після цього випрають (або викинуть). Накрийте стіл фольгою (краще газетами). Акуратно розфарбуйте ікосаедр чотирма кольорами 1, 2, 3, 4, як показано на рис. рис. 7. Ви можете змінити порядок – спочатку розфарбуйте кульки, а потім склеюйте їх. При цьому крихітні кружальця потрібно залишати незафарбованими, щоб не прилипала фарба до фарби.
Тепер найскладніше завдання (точніше вся їхня послідовність).
завдання 6 (Точніше загальна тема). Побудуйте ікосаедр як тетраедр і октаедр на Рис. 2 та 3 - Отже, на кожному ребрі має бути по чотири кулі. У цьому вся варіанті завдання і трудомістка, і навіть затратна. Почнемо з того, що з'ясуємо скільки м'ячів знадобиться. Кожна грань має десять сфер, отже, для ікосаедра потрібно двісті? Ні! Ми повинні пам'ятати, що багато м'ячів є спільними. Скільки ребер у ікосаедра? Його можна ретельно порахувати, але навіщо потрібна формула Ейлера?
ш–к+с=2
де w, k, s - кількість вершин, ребер та граней відповідно. Ми пам'ятаємо, що w = 12, s = 20, отже, k = 30. У нас є 30 ребер ікосаедра. Можна зробити інакше, тому що якщо трикутників 20, то у них лише 60 ребер, але два з них загальні.
Порахуємо скільки м'ячів потрібно. У кожному трикутнику є лише одна внутрішня куля — ні на вершині нашого тіла, ні на ребрі. Таким чином, у нас лише 20 таких куль. Є 12 вершин. На кожному ребрі є дві невершинні кулі (вони знаходяться всередині ребра, але не всередині грані). Оскільки ребер 30, вийде 60 кульок, але дві з них загальні, а це означає, що вам потрібно всього 30 кульок, так що всього потрібно 20 + 12 + 30 = 62 кульки. Кулі можна купити не менш як за 50 грошей (зазвичай дорожче). Якщо додати вартість клею, то вийде багато. Хороша склеювання вимагає кількох годин копіткої роботи. Все разом підходить для спокійного проведення часу - рекомендую їх замість, наприклад, перегляду телевізора.
Відступ 1. У циклі фільмів Анджея Вайди «По роках, днями» двоє чоловіків грають у шахи, «бо треба якось скоротати час до обіду». Це відбувається у галицькому Кракові. Справді: газети вже прочитані (тоді у них було 4 сторінки), телевізора та телефону ще не винайшли, футбольних матчів немає. Нудьга по калюжах. У такій ситуації люди вигадали собі розвагу. Сьогодні вони у нас після натискання на пульт.
Відступ 2. На зборах Асоціації вчителів математики у 2019 році іспанський професор продемонстрував комп'ютерну програму, яка може розфарбовувати стіни із твердих тіл у будь-який колір. Було трохи моторошно, бо малювали лише руки, майже відрізали тіло. Я подумав про себе: скільки задоволення можна отримати від такого забарвлення? На все йде дві хвилини, а на четверту ми вже нічого не пам'ятаємо. Тим часом старомодне «рукоділля» заспокоює та виховує. Хто не вірить, хай спробує.
Повернемося до XNUMX століття і до наших реалій. Якщо ми не хочемо розслаблення у вигляді трудомісткої склеювання куль, то намалюємо хоча б сітку ікосаедра, ребра якої мають чотири кулі. Як це зробити? Кришити правильно рис. 6. Уважний читач уже вгадує завдання:
Завдання 7. Чи можна занумерувати кулі числами від 0 до 9 так, щоб усі ці числа опинилися на кожній грані такого ікосаедра?
За що нам платять?
Сьогодні ми часто запитуємо про мету нашої діяльності, а «сірий платник податків» запитає, чому він повинен платити математикам за вирішення таких головоломок?
Відповідь досить проста. Такі «головоломки», цікаві власними силами, є «фрагментом чогось серйознішого». Адже військові паради – це лише зовнішня, видовищна частина нелегкої служби. Я наведу лише один приклад, але почну з дивного, але всесвітньо визнаного математичного предмета. 1852 року англійський студент запитав свого професора, чи можна якусь карту розфарбувати чотирма кольорами, щоб сусідні країни завжди відображалися різними кольорами? Дозвольте мені додати, що ми не вважаємо «сусідними» ті, які зустрічаються лише в одній точці, наприклад, штати Вайомінг та Юта у США. Професор не знав… і проблема чекала на рішення понад сто років.
8. Ікосаедр із блоків РЕКО. Відбивачі спалаху показують, що спільного у ікосаедра з трикутником і п'ятикутником. У кожній вершині сходяться п'ять трикутників.
Це сталося з несподіваного боку. У 1976 році група американських математиків написала програму для вирішення цієї проблеми (і вони вирішили: так, чотирьох кольорів завжди буде достатньо). Це був перший доказ математичного факту, отриманий за допомогою "математичної машини" - як півстоліття тому називали комп'ютер (а ще раніше: "електронний мозок").
Ось спеціально показана "карта Європи" (рис. 9). Ті країни, які мають спільний кордон, пов'язані. Розфарбовувати карту - це те саме, що розфарбовувати кола цього графа (званого графом) так, щоб ніякі з'єднані кола не були одного кольору. Погляд на Ліхтенштейн, Бельгію, Францію та Німеччину показує, що трьох кольорів недостатньо. Якщо хочеш, Читаче, розкрийся чотирма квітами.
9. Хто з ким межує у Європі?
Ну так, але чи це коштує грошей платників податків? Отже, погляньмо на той же графік трохи по-іншому. Забудемо, що є держави та кордони. Нехай кола символізують інформаційні пакети, що підлягають відправленню з однієї точки до іншої (наприклад, з P до EST), а відрізки — можливі з'єднання, кожне з яких має свою пропускну здатність. Надіслати якнайшвидше?
По-перше, давайте розглянемо дуже спрощену, але також дуже цікаву з математичної точки зору ситуацію. Ми повинні надіслати щось з точки S (= як початок) до точки M (= фініш), використовуючи мережу з'єднань з тією ж пропускною здатністю, скажімо, 1. Ми бачимо це в рис. 10.
10. Мережа з'єднань від Стаційки Здруй до Мегаполісу.
Припустимо, що від S до M потрібно надіслати близько 89 біт інформації. Автору цих слів подобаються завдання про поїзди, тому він уявляє, що він менеджер на Стації Здруй, звідки він має направити 144 вагони. до станції Мегаполіс. Чому саме 144? Тому що, як ми побачимо, це використовуватиметься для розрахунку пропускної спроможності всієї мережі. Місткість дорівнює 1 кожному ділянці, тобто. за одиницю часу може проїхати один вагон (один інформаційний біт, можливо, також Гігабайт).
Впевнімося, що всі вагони зустрічаються одночасно в M. Усі добираються туди за 89 одиниць часу. Якщо я маю дуже важливий інформаційний пакет від S до M для відправки, я розбиваю його на групи по 144 одиниці і проштовхую, як зазначено вище. Математика гарантує, що це буде найшвидшим. Як я дізнався, що вам потрібно 89? Я насправді здогадався, але якби я не здогадався, мені довелося б розібратися рівняння Кірхгофа (Хто-небудь пам'ятає? - Це рівняння, що описують перебіг струму). Пропускна здатність мережі становить 184/89, що приблизно дорівнює 1,62.
Про радість
До речі, мені подобається номер 144. Мені подобалося їздити автобусом із цим номером до Замкової площі у Варшаві — коли поряд з нею не було відновленого Королівського замку. Можливо, молоді читачі знають, що таке дюжина. Це 12 копій, але читачі старші пам'ятають, що дюжина дюжин, тобто. 122 = 144, це так звана багато. І всі, хто знає математику трохи більше, ніж за шкільною програмою, одразу зрозуміють, що рис. 10 у нас є числа Фібоначчі і що пропускна спроможність мережі близька до «золотого числа»
У послідовності Фібоначчі 144 - однина, що є повним квадратом. Сто сорок чотири — теж радісне число. Ось як індійський математик-аматор Даттатрея Рамачандра Капрекар в 1955 році він назвав числа, які діляться на суму складових їх цифр:
Якби він знав це Адам Міцкевич, Він неодмінно написав би немає в Дзяди: «Від чужої матері; його кров – його старі герої / І ім'я йому сорок чотири, тільки витонченіше: І ім'я йому сто сорок чотири.
Ставтеся до розваг серйозно
Сподіваюся, я переконав читачів у тому, що завдання-головоломки судоку — це розважальна сторона питань, які, безумовно, заслуговують на серйозні стосунки. Я більше не можу розвивати цю тему. О, повний розрахунок пропускної спроможності мережі з діаграми, представленої на рис. 9 написання системи рівнянь зайняло б дві або більше годин – можливо, навіть десятки секунд (!) роботи комп'ютера.
