Рівняння, коди, шифри, математика та поезія

Міхал Шурек говорить про себе: «Народився 1946 року. Я закінчив Варшавський університет у 1968 році і з того часу працюю на факультеті математики, інформатики та механіки. Наукова спеціалізація: геометрія алгебри. Нещодавно я мав справу із векторними розшаруваннями. Що таке пучок векторний? Отже, вектори потрібно міцно зв'язати ниткою, і ми вже маємо пучок. Мій друг, фізик, Антоні Сим змусив мене вступити в "Юний технік" (він визнає, що маю отримувати гонорари з моїх гонорарів). Я написав кілька статей, а потім залишився, і з 1978 року щомісяця можна читати, що я думаю про математику. Я люблю гори і, незважаючи на зайву вагу, намагаюся ходити пішки. Я вважаю, що вчителі найважливіше. Я б тримав політиків, незалежно від їхніх варіантів, у строго охоронюваному місці, щоб вони не могли втекти. Годував щодня. Я подобаюсь одному собакі породи бігль із Тулека.

Рівняння це щось на зразок шифру для математика. Розв'язання рівнянь, квінтесенція математики — це читання зашифрованого тексту. На це звернули увагу богослови з XNUMX століття. Іван Павло II, який знав математику, кілька разів писав і згадував про це у своїх проповідях – на жаль, факти стерлися з моєї пам'яті.

У шкільній науці вона представлена Піфагор як автор теореми про деяку залежність у прямокутному трикутнику. Так це стало частиною нашої євроцентричної філософії. І все ж у Піфагора набагато більше переваг. Саме він наклав на своїх учнів обов'язок "пізнавати світ", від "що за цим пагорбом?" до вивчення зірок. Ось чому європейці відкрили давні цивілізації, а не навпаки.

Деякі читачі пам'ятаютьвізерунки Vièteа також"; Багато старших читачів пам'ятають сам термін зі школи і приблизно те, що питання з'явилося в квадратних рівняннях. Ці закономірності “ідеологічно” як би шифрування інформація.

Не дивно: один Франсуа В'єт (1540-1603) займався криптографією при дворі Генріха IV (першого французького короля з династії Бурбонів, 1553-1610) і зумів зламати шифр, який англійці використовували у війні з Францією. Тож він зіграв ту саму роль, як і польські математики (на чолі з Маріаном Реєвським), що відкрили перед Другою світовою війною секрети німецької шифрувальної машини «Енігма».

Модна тема

Точно. Тема «коди та шифри» вже давно стала модною у викладанні. Я вже писав про це кілька разів, а за два місяці буде ще одна серія. Цього разу пишу під враженням від фільму про війну 1920 року, де перемога багато в чому була обумовлена ​​зломом кодексу більшовицьких військ командою під керівництвом тоді ще молодого Вацлав Серпінський (1882-1969). Ні, це ще не Enigma, це просто знайомство. Пам'ятаю сцену з фільму, де Юзеф Пілсудський (грає Данило Ольбрихський) каже начальнику відділу шифрів:

Розшифровані повідомлення мали важливе повідомлення: війська Тухачевського підтримки не отримають. Ви можете атакувати!

Я знав Вацлава Серпінського (якщо можна сказати: я був молодим студентом, він був відомим професором), відвідував його лекції та семінари. Він справляв враження висохлого вченого, розсіяного, зайнятого своєю дисципліною і не бачить потойбічного світу. Він читав лекції безпосередньо, обличчям до дошки, не дивлячись на аудиторію ... але відчував себе видатним фахівцем. Так чи інакше, він мав певні математичні здібності — наприклад, для вирішення завдань. Є й інші — вчені, які погано розгадують головоломки, але глибоко розуміють всю теорію і здатні ініціювати цілі галузі творчості. Нам потрібні обидва — хоча перший просуватиметься швидше.

Вацлав Серпінський ніколи не говорив про свої досягнення у 1920 році. До 1939 року це безперечно потрібно було тримати в секреті, а після 1945 року ті, хто воював із Радянською Росією, не користувалися симпатією тодішньої влади. Моє переконання, що вчені потрібні як армія доведено: «про всяк випадок». Ось президент Рузвельт дзвонить Ейнштейну:

Видатний російський математик Ігор Арнольд відкрито і з сумом говорив, що війна дуже вплинула на розвиток математики і фізики (радіолокація і GPS теж мали військове походження). Я не вдаюсь у моральний аспект застосування атомної бомби: тут продовження війни на рік і загибель кількох мільйонів власних солдатів – там страждання безневинних мирних жителів.

***

Тікаю у знайомі райони – до. Багато хто з нас грався з кодами, може у скаутинг, може просто так. Прості шифри, засновані на принципі заміни букв іншими літерами чи іншими числами, стандартно зламуються — якщо ми вловлюємо лише кілька підказок (наприклад, ми вгадуємо ім'я короля). Сьогодні також допомагає статистичний аналіз. Гірше, коли все мінливе. Але найгірше, коли немає регулярності. Розглянемо код, описаний у «Пригоди бравого солдата Швейка». Візьмемо книгу, наприклад, "Всесвітній потоп". Ось пропозиції на першій та другій сторінці.

Ми хочемо закодувати слово CAT. Відкриваємо на сторінці 1 та сусідній другій. Ми виявляємо, що на сторінці 1 буква К вперше з'являється на 59 місці. Знаходимо п'ятдесят дев'яте слово на протилежному, іншому боці. Це слово "а". Тепер літера О. Ліворуч стоїть 16-те слово, а шістнадцяте праворуч — «пан». Літера Т стоїть на 95-му місці, якщо я правильно порахував, а дев'яносто п'яте слово праворуч - "о". Отже, КАТ = 1 ВОЛОДИКА ПРО.

«Невідгадуваний» шифр, хоч і болісно повільний як для шифрування, так і для вгадування. Припустимо, ми хочемо передати літеру M. Ми можемо перевірити, чи кодуємо її словом «Wołodyjowski». А після нас уже готують тюремну камеру. Ми можемо розраховувати лише на заміну! Крім того, контррозвідка наголошує на повідомленнях таємних співробітників про те, що вже деякий час замовники охоче купують перший том «Потопу».

Моя стаття є вкладом у цю тезу: навіть найвигадливіші ідеї математиків можуть знайти застосування у широко розуміємій практиці. Наприклад, чи можна уявити менш корисне математичне відкриття, ніж ознака ділимості ... на 47?

Коли він нам знадобиться у житті? І якщо це так, легше буде спробувати розділити його. Якщо ділить, то добре, якщо ні, то вдруге добре (ми знаємо, що не ділить).

Як ділитися та навіщо

Після цього вступу, давайте перейдемо до. Чи знаєте ви, читачі, якісь ознаки ділимості? Безперечно. Чітні числа закінчуються на 2, 4, 6, 8 або нуль. Число ділиться на три, якщо сума цифр ділиться на три. Аналогічно і з ознакою поділення на дев'ять – сума цифр має ділитися на дев'ять.

Кому це потрібно? Я б збрехав, якби переконав Читача, що він годиться для чогось, крім… шкільних завдань. Ну і ще особливість подільності на 4 (а що це таке, Читачу? Може, ти нею скористаєшся, коли захочеш дізнатися, на який рік доводиться наступна Олімпіада…). А ось особливість подільності на 47? Це вже біль голови. Чи дізнаємось ми колись, чи ділиться щось на 47? Якщо так, то візьмемо калькулятор та подивимося.

Це. Ви маєте рацію, Читачу. І все ж таки читайте далі. Будь ласка.

Ознака подільності на 47: Число 100+ ділиться на 47 і тоді, коли 47 ділиться на +8.

Математик задоволено посміхнеться: «Ги, гарненька». Але математика є математикою. Докази мають значення, і ми звертаємо увагу на їхню красу. Як довести нашу межу? Це дуже просто. Віднімемо зі 100 + число 94 - 47 = 47 (2 -). Отримуємо 100+-94+47=6+48=6(+8).

Ми відняли число, яке ділиться на 47, тому якщо 6 (+ 8) ділиться на 47, то і 100 +. Але число 6 взаємно просте з 47, а це означає, що 6 (+ 8) ділиться на 47 і тоді, коли воно дорівнює + 8. Кінець доказу.

Давайте подивимося Деякі приклади.

8805685 ділиться на 47? Якщо ми справді зацікавлені у цьому, ми дізнаємося раніше, просто розділивши нас, як нас навчали у початковій школі. Так чи інакше тепер калькулятор є в кожному мобільному телефоні. Розділений? Так, приватне 187355.

Що ж, давайте подивимося, що нам каже ознака подільності. Від'єднуємо дві останні цифри, множимо їх на 8, додаємо результат до «усіченого числа» і проробляємо те саме з отриманим числом.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Ми, що 94 ділиться на 47 (приватне і 2), отже, і вихідне число ділиться. Чудово. Але що якщо ми продовжимо веселитися?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Тепер ми маємо зупинитися. Сорок сім ділиться на 47, чи не так?

Нам справді потрібно зупинитися? Що, коли ми підемо далі? О боже, всяке буває… Я опущу подробиці. Може лише початок:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Але, на жаль, викликає таке ж звикання, як жування насіння.

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

А сорок сім. Це вже було. Що далі? . Такий же. Числа йдуть у циклі наступним чином:

Це насправді цікаво. Така кількість петель.

Два наступні приклади.

Ми хочемо дізнатися, чи ділиться 10017627 на 47. Навіщо нам потрібні ці знання? Ми пам'ятаємо принцип: горе знанню, яке допомагає знаючому. Знання завжди є для чогось. Це буде за щось, але зараз я не пояснюватимуся. Ще кілька рахунків:

10017627 → 100176 + 8 = 27.

«Він змінив дядька з сокири на ціпок». Що ми отримуємо від цього?

Що ж, давайте повторимо перебіг розгляду. Тобто продовжимо це робити (тобто слово “ітерувати”).

100392 → 1003 + 8 = 92 → 1739 + 17 = 8 → 39 + 329 = 3.

Зупинимо гру, поділимо як у школі (або на калькуляторі): 235 = 5 · 47. Бінго. Початкове число 10017627 поділяється на 47.

Молодці!

Що, коли ми підемо далі? Повірте, ви можете перевірити це.

І ще один цікавий факт. Ми хочемо перевірити, чи ділиться 799 на 47. Ми використовуємо функцію подільності. Від'єднуємо дві останні цифри, отримане число множимо на 8 і додаємо до того, що залишилося:

799 → 7 + 8 = 99 + 7 = 792.

Що ми маємо? Число 799 ділиться на 47 і тоді, коли 799 ділиться на 47? Так, все правильно, але ніякої математики для цього не треба! Олія масляниста (принаймні, це масло маслянисте).

Про лист, піратів та кінець жартам!

Ще дві притчі. Де найкраще сховати лист? Відповідь очевидна: у лісі! Але як його потім знайти?

Другого ми знаємо з книг про піратів, які читали давно. Пірати склали карту місця, де вони закопали скарб. Інші або вкрали його, або виграли у бою. Але на карті не було зазначено, якого острова він призначений. І шукайте себе! Зрозуміло, пірати з цим (тортуром) впоралися — шифри, про які я говорю, теж можна отримати такими методами.

Кінець жартам. Читач! Створюємо шифр. Я таємний шпигун і використовую "Юного техніка" як контактну скриньку. Пересилайте мені зашифровані повідомлення в такий спосіб.

Спочатку перетворіть текст на рядок чисел, використовуючи код: AB CDEFGH IJ KLMN НА RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Як бачите, ми не використовуємо польські діакритичні знаки (тобто без ą, ę, ć, ń, ó, ś) та непольські q, v — але непольський x залишився про всяк випадок. Включимо ще 25 як пробіл (пробіл між словами). О, найголовніше. Будь ласка, застосуйте код №47.

Ви знаєте, що це означає. Ви йдете до другої математики.

Очі друга розширилися від подиву.

Ти гордо відповідаєш:

Математик наділяє вас цією рисою ... і ви вже знаєте, що для шифрування використовується непомітна на вигляд функція

тому що такий шаблон є описаною дією

100 + → + 8.

Отже, коли ви хочете дізнатися, що означає число, наприклад, 77777777 у зашифрованому повідомленні, ви використовуєте функцію

100 + → + 8

поки не отримаєте число від 1 до 25. Тепер подивіться на явний літерно-цифровий код. Подивимось: 77777777 →… Залишаю це Вам як завдання. Але давайте подивимося, яку букву приховує 48? Давай читати:

48 → 0 + 8 = 48.

Тоді отримаємо по черзі:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Кінця не видно. Тільки після шістдесятого (!) разу з'явиться число менше 25. Це 3, отже, 48 – це буква С.

І що нам дає це повідомлення? (Хочу нагадати, що ми використовуємо кодовий номер 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 341.

Ну, подумаєш, що тут складного, якісь рахунки. Ми почали. На початку 80. Відоме правило:

80 → 0 + 8 = 80 → 640 + 6 = 8.

Це продовжується так:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Є! Перша літера повідомлення - К. Уф, легко, але скільки часу це займе?

Подивимося також, скільки клопоту нам доведеться мати з числом 1234567. Тільки на шістнадцятий раз ми отримаємо число менше 25, а саме 12. Значить, 1234567 це L.

Добре, хтось скаже, але ця арифметична операція настільки проста, що її програмування на комп'ютері відразу ж зламає код. Так це правда. Це найпростіші розрахунки для комп'ютера. Ідея з загальнодоступний шифр і йдеться також у тому, щоб зробити розрахунки складними для комп'ютера. Нехай працює хоч сто років. Чи він розшифрує повідомлення? Неважливо. Це не матиме значення довгий час. Це (більш-менш) те, що стосується загальнодоступних шифрів. Їх можна зламати, якщо працювати дуже довго… поки що новини не перестануть бути актуальними.

 вона завжди народжувала «протизброю». Все почалося з меча та щита. Секретні служби платять обдарованим математикам величезні суми за винахід методів шифрування, які комп'ютери (зокрема створені нами) не зможуть зламати у XNUMX столітті.

Двадцять друге століття? Не так вже й складно дізнатися, що на світі вже є багато людей, які житимуть у цьому прекрасному віці!

О, га? А що, якщо я попрошу (мене Секретного Співробітника, з яким зв'язався “Юний Технік”) для шифрування з кодовим номером 23? Або 17? Простий:

Нехай нам ніколи не доведеться використовувати математику для таких цілей.

***

Назва статті про поезію. Яке їй до цього діло?

Як що? Поезія також шифрує світ.

Як?

Своїми методами – схожими на алгебраїчну.