Кольорові квадрати та сонячні затемнення
У статті описано мої заняття для учнів середніх класів – стипендіатів Національного дитячого фонду. Фонд займається пошуком особливо обдарованих дітей та молоді (від XNUMX-го класу початкової школи до старшої школи) та пропонує обраним учням «стипендії». Однак вони полягають зовсім не у знятті готівки, а у всебічній турботі про розвиток таланту, як правило, протягом багатьох років. На відміну від багатьох інших проектів подібного типу, до підопічних Фонду серйозно ставляться відомі вчені, діячі культури, визначні гуманісти та інші мудрі люди, а також деякі політики.
Діяльність Фонду поширюється попри всі дисципліни, є базовими шкільними предметами, крім спорту, включаючи мистецтво. Фонд було створено у 1983 році як протиотруту від тогочасної реальності. До фонду може звернутися будь-який бажаючий (зазвичай через школу, бажано до кінця навчального року), але, звичайно, є певне сито, певна кваліфікаційна процедура.
Як я вже згадував, стаття заснована на моїх майстер-класах, саме у Гдині, у березні 2016 року, у 24-й неповній середній школі при ІІІ середній школі. Військово-морського флоту. Упродовж багатьох років ці семінари організовує під егідою Фонду Войцех Томальчик, викладач надзвичайної харизми та високого інтелектуального рівня. У 2008 році він увійшов до десятки найкращих у Польщі, яким було присвоєно звання професора педагогіки (передбачено законом багаторічної давності). У твердженні: "Освіта - вісь світу", є невелике перебільшення.
і місяць завжди зачаровують – тоді можна відчути, що ми живемо на крихітній планеті у величезному просторі, де все перебуває у русі, що вимірюється сантиметрами та секундами. Мене це навіть трохи лякає ще й тимчасова перспектива. Дізнаємося, що наступне повне затемнення, видиме з району сьогоднішньої Варшави, буде у 2681 році. Цікаво, хто його побачить? Видимі розміри Сонця та Місяця на нашому небі майже однакові — ось чому затемнення такі короткі та такі ефектні. Протягом століть цих коротких хвилин має бути достатньо, щоб астрономи побачили сонячну корону. Дивно, що вони трапляються двічі на рік… але це означає лише те, що десь на Землі їх можна побачити на короткий час. В результаті приливних рухів Місяць віддаляється від Землі – через 260 мільйонів років це буде так далеко, що ми (ми???) бачитимемо лише кільцеподібні затемнення.
Мабуть, першим передбачив затемнення, був Фалес Мілетський (28-585 ст. до н.е.). Ми, мабуть, не дізнаємося, чи було воно насправді, тобто чи передбачив він, адже те, що затемнення в Малій Азії відбулося 567 травня 566 р. до н.е., є фактом, підтвердженим сучасними розрахунками. Зрозуміло, я наводжу дані за сьогоденням. Коли я був дитиною, я уявляв, як люди рахували роки. Так це, наприклад, XNUMX рік до нашої ери, настає новорічна ніч і люди радіють: лише XNUMX років до «н.е.»! Як, мабуть, вони були щасливі, коли нарешті настала «наша ера»! Що за межу тисячоліть, яку ми пережили кілька років тому!
Математика обчислення дат та діапазонів затемнення, не особливо складна, але напхана будь-якими факторами, пов'язаними з регулярністю і, що ще гірше, з нерівномірністю руху тіла по орбітах. Я навіть хотів би знати цю математику. Як міг Фалес Мілетський зробити необхідні розрахунки? Відповідь проста. У вас має бути карта зоряного неба. Як зробити таку картку? Це також не складно, стародавні єгиптяни вміли це робити. Опівночі на дах храму виходять двоє священиків. Кожен із них сідає і малює те, що бачить (як і його колега). Через дві тисячі років ми знаємо про рух планет...
Красива геометрія, або веселощі на «килимку»
Греки не любили числа, вони вдавалися до геометрії. Це те, що ми робитимемо. Наш затемнення вони будуть простими, барвистими, але такими ж цікавими та реальними. Приймемо угоду, що синя фігура рухається так, що затьмарює червону. Назвемо синю фігуру місяцем, а червону сонцем. Ми поставимо собі такі питання:
- скільки триває затемнення;
- коли половина мішені вкрита;
Рис. 1 Різнокольоровий «килим» з сонцем та місяцем
- який максимальний охоплення;
- Чи можна проаналізувати залежність охоплення щита від часу? У цій статті (я обмежений обсягом тексту) я зупинюся на другому питанні. За цим стоїть приємна геометрія, можливо без нудних розрахунків. Подивимося на рис. 1. Чи можна припустити, що він буде пов'язаний із... сонячним затемненням?
Маю чесно сказати, що завдання, які я буду обговорювати, будуть спеціально підібрані, адаптовані до знань та вмінь учнів середніх та старших класів. Але ми тренуємося на таких завданнях, як музиканти грають гами, а спортсмени роблять вправи, що загально розвиваються. Крім того, хіба це не просто гарний килимок (мал. 1)?
Рис. 2 «Синій» Місяць та «червоне» Сонце
Наші небесні тіла принаймні на початковому етапі будуть кольоровими квадратами. Місяць синій, сонце червоне (найкраще для розфарбовування). З сьогоденням затемнення Місяць женеться за сонцем у небі, наздоганяє… і закриває його. Так само буде й у нас. Найпростіший випадок, коли Місяць рухається щодо Сонця, як показано на рис. 2. Затемнення починається, коли край диска Місяця стосується краю диска Сонця (мал. 2), і закінчується, коли він виходить за межі.
Рис. 3 Місяць наближається до сонця по діагоналі
Ми припускаємо, що Місяць переміщається на одну клітинку в одиницю часу, наприклад, за хвилину. Потім затемнення триває вісім одиниць часу, скажімо, хвилин. Половина сонячні затемнення Половина циферблату закривається двічі: через 2 і 6 хвилин. Графік залежності "відсоток затемнення" простий. Протягом перших двох хвилин щит закривається рівномірно зі швидкістю нуль до 1 наступні дві хвилини з тією ж швидкістю оголюється.
Ось цікавіший приклад (рис. 3). Місяць наближається до сонця по діагоналі. За нашою угодою про похвилинну оплату затемнення триває 8√2 хвилин – у середині цього часу ми маємо повне затемнення. Підрахуємо, яка частина сонця закрита за час t (рис. 3). Якщо з початку затемнення пройшло t хвилин і в результаті Місяць такий, як показано на рис. 5, то (увага!) тому покрита (площа квадрата APQR), рівна половині сонячного диска тому накрили колись, тобто. через 4 хвилини (тоді за 4 хвилини до закінчення затемнення).
Рис. 4 Графік функції "затінювання"
Тотальність триває один момент (t = 4√2), а графік функції «затінена частина» і двох дуг парабол (рис. 4).
Наш блакитний Місяць буде торкатися кута з червоним Сонцем, але воно накриватиме його, йдучи не по діагоналі, а трохи по діагоналі. Цікава геометрія з'являється, коли ми трохи ускладнюємо рух (рис. 6). Напрямок руху тепер векторний [4,3], тобто «чотири клітини вправо, три клітини вгору». Положення Сонця таке, що затемнення починається (позиція А), коли сторони «небесних тіл» сходяться на чверть їхньої довжини. Коли Місяць переміститься в положення B, вона перевершить одну шосту частину Сонця, а в положенні C затьмарить половину. У положенні D у нас повне затемнення, а потім все йде назад, як було.
Рис. 5 Частина Сонця, прихована за час t
Затемнення закінчується, коли Місяць перебуває в положенні G. Воно тривало стільки, скільки довжина ділянки AG. Якщо, як і раніше, прийняти за одиницю часу час, за який Місяць проходить один квадрат, то довжина АГ дорівнює. Якби ми повернулися до колишньої угоди, згідно з якою наші небесні тіла 4 на 4, результат був би іншим (що?). Як легко показати, ціль закривається після t < 15. Графік функції «відсоток покриття екрану» можна побачити на рис. 6.
Рис. 6 Графік функції «відсоток захисту»
Рівняння затемнення та стрибка
Рис. 7 Обструкція сонячного диска під час затемнення, показаного на мал. 6
Проблема затемнень була б неповною, якби ми не розглянули випадок кіл. Це набагато складніше, але давайте спробуємо розібратися, коли одне коло затьмарює половину іншого - і в найпростішому випадку, коли одна з них рухається по діаметру, що об'єднує їх. Малюнок знайомий власникам якоїсь кредитки.
Розрахунок положення полів складний, оскільки вимагає, по-перше, знання формули площі кругового відрізка, по-друге, знання дуги кута, і по-третє (і найгірше), вміння вирішувати певне рівняння стрибка. Не пояснюватиму, що таке «транзитивне рівняння», подивимося на прикладі (рис. 8).
Рис. 8 «Сферичне» затемнення
Кругове перетин - це "чаша", яка залишається після розрізання кола прямою лінією. Площа такого відрізка дорівнює S = 1/2r2(φ-sinφ), де r - радіус кола, а φ - центральний кут, на який спирається відрізок (рис. 8). Це легко отримати, віднімаючи площу трикутника з площі кругового сектора.
Епізод О1O2 (відстань між центрами кіл) тоді дорівнює 2rcosφ/2, а висота (ширина, «лінія талії») h = 2rsinφ/2. Отже, якщо ми хочемо розрахувати, коли Місяць закриє половину сонячного диска, нам потрібно вирішити рівняння: яке після спрощення набуває вигляду:
Рис. 9 Графіки двох функцій
Вирішення таких рівнянь виходить за рамки простої алгебри — у рівнянні присутні як кути, так і їх тригонометричні функції. Рівняння виходить за рамки досяжності традиційних методів. Ось чому це називається стрибнути. Давайте спочатку подивимося графіки обох функцій, тобто функцій і функций.Наближене рішення ми можемо прочитати з цього рисунка. Однак ми можемо отримати апроксимацію ітеративним методом або використовувати опцію Solver в електронній таблиці Excel. Це має вміти кожен старшокласник, адже надворі 20 століття. Я використав більш складний інструмент Mathematica, і ось наше рішення з непотрібною точністю в XNUMX знаків після коми:
SetPrecision [FindRoot [x == Sin [x] + Pi / 2, {x, 2}], 20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Рис. 10 Анімація затемнення в matematica
Ми перетворюємо це на градуси, помножуючи на 180/π. Отримуємо 132 градуси, 20 хвилин, 45 та чверть кутової секунди. Розрахуємо, що відстань до центру кола дорівнює O1O2 = 0,808 радіусу, а "талія" 2,310.
