Геометричні доріжки та зарості

При написанні цієї статті я згадав дуже стару пісню Яна Петшака, яку він співав перед своєю сатиричною діяльністю в кабарі Pod Egidą, визнаною в Польській Народній Республіці запобіжним клапаном; можна було чесно посміятися з парадоксів системи. У цій пісні автор рекомендував соціалістичну політичну участь, висміюючи тих, хто хоче бути аполітичним, та виключаючи радіо в газеті. "Краще повернутися до шкільного читання", - іронічно співав тоді XNUMX-річний Петшак.

Я повертаюся до шкільного читання. Перечитую (вже не вперше) книгу Щепана Єленського (1881-1949) "Лилаваті". Небагатьом читачам щось говорить саме слово. Це ім'я дочки відомого індуського математика, відомого як Бхаскара (1114-1185), на ім'я Акарія, або мудреця, який назвав свою книгу з алгебри цим ім'ям. Пізніше Лілаваті сама стала відомим математиком та філософом. За іншими даними, саме вона сама написала книгу.

Так само назвав свою книгу з математики Щепан Єленський (перше видання – 1926 р.). Цю книгу, можливо, навіть важко назвати математичною працею — це був скоріше набір головоломок, причому багато в чому переписаний із французьких джерел (авторських прав у сучасному розумінні не існувало). У всякому разі, протягом багатьох років це була єдина польська популярна книга з математики – пізніше до неї була додана друга книга Єленського, «Солодами Піфагора». Так що молодим людям, які цікавляться математикою (а саме таким я колись був) вибирати не було з чого…

з іншого боку, «Лілаваті» треба було знати майже напам'ять… Ех, були часи… Найбільша їхня перевага була в тому, що я був… тоді підлітком. Сьогодні, з погляду добре освіченого математика, я дивлюся на Лілаваті зовсім по-іншому – можливо, як альпініст на вигинах стежки у Шпігласову Пшеленч. Ні той, ні другий не втрачають своєї чарівності... У характерному для нього стилі Щепан Єленський, який сповідує в особистому житті так звану національну ідею, він пише в передмові:

Не торкаючись опису національних особливостей, скажу, що після дев'яноста років слова Єленського про математику не втратили своєї актуальності. Математика вчить думати. Це факт. Чи можемо ми навчити вас думати інакше, простіше та красивіше? Може бути. Просто ми все ще не можемо. Я поясню своїм учням, які не хочуть займатися математикою, що це також перевірка їх розумових здібностей. Якщо ти не можеш вивчити справді просту математичну теорію, тоді… може, твої розумові здібності гірші, ніж нам хотілося б…?

Знаки на піску

І ось перше оповідання в «Лилаваті» - оповідання, описане французьким філософом Жозефом де Местром (1753-1821).

Моряка з корабля, що зазнав аварії, викинуло хвилями на порожній берег, який він вважав безлюдним. Раптом у прибережному піску він побачив слід намальованої перед кимось геометричною фігурою. Ось він і зрозумів, що острів не безлюдний!

Цитуючи де Местрі, Єленський пише: геометрична фігурабуло б німим виразом для нещасного, який зазнав корабля, збіг, але він показав йому з першого погляду пропорцію і число, і це сповістило людину освічену». Так багато для історії.

Зауважте, таку реакцію викличе моряк, наприклад, намалювавши букву К,... і будь-які інші сліди присутності людини. Тут ідеалізовано геометрію.

Тим не менш, астроном Каміль Фламмаріон (1847-1925) запропонував, щоб цивілізації вітали одне одного на відстані за допомогою геометрії. Він бачив у цьому єдино правильну та можливу спробу спілкування. Покажемо таким марсіянам піфагорійські трикутники… вони дадуть відповідь нам Фалесом, ми їм відповімо візерунками Вієта, у них коло в трикутник впишеться, от і почалася дружба…

До цієї ідеї повернулися такі письменники, як Жуль Верн та Станіслав Лем. А 1972 року плитки з геометричними (і не тільки) малюнками були розміщені на борту зонда «Піонер», який досі перетинає простори космосу, тепер уже майже 140 астрономічних одиниць від нас (1 I — середня відстань Землі від Землі). Сонця, тобто близько 149 млн. км). Плитка була розроблена зокрема астроном Френк Дрейк, творець спірного правила про кількість позаземних цивілізацій.

З геометрією взагалі дивовижно. Усім нам відомий загальний погляд на походження цієї науки. Ми (ми, люди) тільки почали вимірювати землю (а потім і землю) у найутилітарніших цілях. Визначення відстаней, малювання прямих ліній, розмітка прямих кутів та розрахунок обсягів поступово ставали потребою. Звідси і вся справа геометрія ("Вимір землі"), звідси і вся математика ...

Однак на якийсь час ця ясна картина історії науки затуманила нас. Бо якби математика потрібна була виключно для оперативних цілей, ми не займалися б доказом простих теорем. "Ви бачите, що це взагалі має бути правильно", - скаже кожен, перевіривши, що в декількох прямокутних трикутниках сума квадратів гіпотенуз дорівнює квадрату гіпотенузи. Чому такий формалізм?

Пиріг зі сливами має бути смачним, комп'ютерна програма має працювати, машина має працювати. Якщо я тридцять разів порахував місткість бочки і все гаразд, то навіщо?

Тим часом давнім грекам спало на думку, що необхідно знайти якісь формальні докази.

Отже, математика починається з Фалеса (625–547 до н.е.). Передбачається, що саме Мілет почав запитувати, чому. Розумним людям мало того, що вони бачили, що вони в чомусь переконані. Вони бачили необхідність доказу, логічної послідовності аргументів від припущення до тези.

Вони також хотіли більшого. Ймовірно, саме Фалес першим спробував пояснити фізичні явища натуралістичним шляхом без божественного втручання. Європейська філософія почалася з філософії природи — з того, що вже стоїть за фізикою (звідси й назва метафізика). Але основи європейської онтології та натурфілософії заклали піфагорійці (Піфагор, бл. 580-бл. 500 до н. Е..).

Він заснував власну школу в Кротоні на півдні Апеннінського півострова — сьогодні ми назвали б її сектою. Наука (у нинішньому значенні цього слова), містицизм, релігія і фантазія — це тісно переплелося. Томас Манн дуже гарно представив уроки математики у німецькій гімназії у романі «Доктор Фаустус». У перекладі Марії Курецької та Вітольда Вірпші цей фрагмент свідчить:

У цікавій книзі Чарльза ван Дорена "Історія знань від зорі історії до наших днів" я знайшов дуже цікавий погляд. В одному з розділів автор визначає значення піфагорійської школи. Сама назва глави мене вразила. Він говорить: «Винахід математики: піфагорійці».

Ми часто обговорюємо, чи відкриваються математичні теорії (наприклад, невідомі землі) чи винаходяться (наприклад, машини, яких раніше не існувало). Деякі творчі математики вважають себе дослідниками, інші – винахідниками чи конструкторами, рідше лічильниками.

Але автор зазначеної книги пише про винахід математики загалом.

Від перебільшення до омани

Після цієї довгої вступної частини я перейду до самого початку геометрія, щоб описати, як надмірна віра в геометрію може ввести вченого в оману. Йоганн Кеплер відомий у фізиці та астрономії як першовідкривач трьох законів руху небесних тіл. По-перше, кожна планета Сонячної системи рухається навколо Сонця еліптичною орбітою, в одному з фокусів якої знаходиться Сонце. По-друге, через рівні проміжки провідний промінь планети, проведений від Сонця, прокреслює рівні поля. По-третє, відношення квадрата періоду звернення планети навколо Сонця до куба великої півосі її орбіти (тобто середньої відстані від Сонця) завжди всім планет Сонячної системи.

Можливо, це був третій закон - для його встановлення потрібно багато даних і обчислень, що спонукало Кеплера продовжити пошук закономірності в русі та становищі планет. Історія його нового «відкриття» дуже повчальна. З давніх-давен ми захоплюємося не тільки правильними багатогранниками, але й міркуваннями, що показують, що в просторі їх всього п'ять. Тривимірний багатогранник називається правильним, якщо його грані є однаковими правильними багатокутниками і кожна вершина має однакову кількість ребер. Ілюстративно: кожен кут правильного багатогранника має «виглядати однаково». Найвідоміший багатогранник – куб. Усі бачили звичайну кісточку.

Правильний тетраедр менш відомий, і у школі його називають правильною трикутною пірамідою. Схоже на піраміду. Інші три правильні багатогранники менш відомі. Октаедр утворюється, коли ми з'єднуємо центри ребер куба. Додекаедр та ікосаедр вже виглядають як кулі. Зроблені з м'якої шкіри, ними було б зручно копати. Міркування про те, що не існує правильних багатогранників, крім п'яти Платонових тіл, дуже добре. По-перше, усвідомлюємо, що й тіло правильне, то кожної вершині має сходитися однакова кількість (нехай q) однакових правильних багатокутників, нехай це будуть p-кути. Тепер нам треба згадати, який кут у правильному багатокутнику. Якщо хтось не пам'ятає зі школи, нагадуємо, як знайти потрібну форму. Ми вирушили у подорож за куток. У кожній вершині ми повертаємось на той самий кут а. Коли ми обходимо багатокутник і повертаємося у вихідну точку, ми зробили р таких поворотів, і ми повернулися на 360 градусів.

Але α є доповненням на 180 градусів до кута, який ми хочемо обчислити, і, отже, дорівнює

Ми знайшли формулу кута (математик сказав би: міри кута) правильного багатокутника. Перевіримо: у трикутнику p = 3, ні

Ось так. Коли p = 4 (квадрат), то

градусів і також нормально.

Що ми отримуємо за п'ятикутник? Так що ж відбувається, коли багатокутників q, кожен з яких p має однакові кути

 градусів, спускається в одній вершині? Якби він був на площині, то утворився б кут

градусів і не може бути більшим за 360 градусів – тому що тоді полігони перекриваються.

Однак, оскільки ці багатокутники зустрічаються в просторі, кут повинен бути меншим за повний кут.

А ось нерівність, з якої все це випливає:

Розділимо його на 180, обидві частини помножимо на p, замовимо (p-2) (q-2) < 4. З чого випливає? Давайте усвідомлюємо, що p і q повинні бути натуральними числами і що p > 2 (чому? І що таке p?), а також q > 2. Існує не так багато можливостей зробити добуток двох натуральних чисел менше 4. Ми перерахуємо їх усі у таблиці 1.

Креслення не викладаю, ці постаті кожен може побачити в Інтернеті… В Інтернеті… Не відмовлюся від ліричного відступу – можливо цікаво для юних читачів. 1970 року я виступав на семінарі. Тема була складною. У мене мало часу на підготовку, я сидів вечорами. Основна стаття була доступна лише читання дома. Місце було затишне, з робочою атмосферою, та й закривалося о сьомій. Потім наречена (тепер уже дружина) сама запропонувала переписати мені всю статтю: сторінок із десяток друкованого. Переписала (ні, не гусячим пером, у нас навіть були ручки), лекція вдалася. Сьогодні намагався знайти цю публікацію, яка вже стара. Запам'ятав лише ім'я автора… Пошуки в інтернеті тривали довго… цілих п'ятнадцять хвилин. Я думаю про це з усмішкою та легким невиправданим жалем.

Ми повертаємось до Кеплер і геометрія. Зважаючи на все, Платон передбачив існування п'ятої правильної форми тому, що йому не вистачало чогось об'єднуючого, що охоплює весь світ. Можливо, тому він доручив учневі (Теаджтету) шукати її. Як було, так і було, на підставі чого було відкрито додекаедр. Ми називаємо це ставлення Платона до пантеїзму. Усі вчені, аж до Ньютона, більшою чи меншою мірою піддалися йому. Починаючи з дуже раціонального вісімнадцятого століття, його вплив радикально зменшився, хоча не слід соромитися того, що всі ми тією чи іншою мірою піддається йому.

У кеплерівської концепції побудови Сонячної системи все було правильно, експериментальні дані збігалися з теорією, теорія була логічно струнка, дуже гарна ... але хибна. У його час було відомо лише шість планет: Меркурій, Венера, Земля, Марс, Юпітер та Сатурн. Чому планет лише шість? - спитав Кеплер. І яка закономірність визначає їхню відстань від Сонця? Він припускав, що все пов'язано, що геометрія та космогонія тісно пов'язані один з одним. З творів стародавніх греків він знав, що правильних багатогранників лише п'ять. Він побачив, що між шістьма орбітами було п'ять порожнеч. То, можливо, кожному з цих вільних просторів відповідає якийсь правильний багатогранник?

Після кількох років спостережень і теоретичних робіт він створив наступну теорію, за допомогою якої досить точно розрахував розміри орбіт, яку представив у книзі «Mysterium Cosmographicum», виданої в 1596: Уявіть собі гігантську сферу, діаметр якої діаметр орбіти Меркурія в його річному русі навколо Сонця. Потім уявіть, що на цій сфері є правильний октаедр, на ній сфера, на ній ікосаедр, на ній знову сфера, на ній додекаедр, на ній ще одна сфера, на ній тетраедр, потім знову сфера, куб і, нарешті, на цьому кубі описаний шар.

Кеплер дійшов висновку, що діаметри цих послідовних сфер є діаметрами орбіт інших планет: Меркурія, Венери, Землі, Марса, Юпітера та Сатурна. Теорія видалася дуже точною. На жаль, це збіглося з експериментальними даними. А що може бути кращим свідченням правильності математичної теорії, ніж її відповідність експериментальним даним чи даним спостережень, особливо «взятих з небес»? Я підсумовую ці розрахунки в Таблиці 2. То що зробив Кеплер? Пробував, пробував, доки сталося, тобто коли зміна (порядок сфер) і отримані розрахунки збігалися з даними спостережень. Ось сучасні цифри Кеплера та розрахунки:

Можна піддатися чарівності теорії та повірити, що неточні виміри у небі, а чи не рахунки, зроблені у тиші майстерні. На жаль, сьогодні ми знаємо, що існує щонайменше дев'ять планет і всі збіги результатів — лише збіг. Жаль. Це було так красиво.