Лем, Токарчук, Краків, математика

3-7 вересня 2019 р. у Кракові відбувся ювілейний конгрес Польського математичного товариства. Ювілейний, бо до століття від дня заснування Товариства. Вона існувала в Галичині з 1-х років (без прикметника, що польсько-лібералізм імператора FJ1919 мав свої межі), але як загальнонаціональна організація діяла лише з 1919 року. Великі успіхи польської математики відносяться до 1939-х років XNUMX-XNUMX. XNUMX р. в Університеті Яна Казимира у Львові, але з'їзд там не міг відбутися – та це й не найкраща ідея.

Зустріч була дуже святковою, повною супутніх заходів (включаючи виступ Яцека Вуйчицького у замку у Неполомицях). З основними лекціями виступили 28 спікерів. Вони були польською мовою, тому що запрошені гості були поляками – не обов'язково у сенсі громадянства, а визнаючи себе поляками. Ах так, лише тринадцять лекторів приїхали з польських наукових установ, решта п'ятнадцяти – зі США (7), Франції (4), Англії (2), Німеччини (1) та Канади (1). Що ж, це добре відоме явище у футбольних лігах.

Найкращі постійно виступають за кордоном. Трохи сумно, але свобода є свобода. Декілька польських математиків зробили недосяжну в Польщі кар'єру за океаном. Гроші тут відіграють другорядну роль, але я не хочу писати на такі теми. Можливо, лише два коментарі.

У Росії, а раніше в Радянському Союзі це було і є на свідомому рівні... і якось ніхто не хоче туди емігрувати. У свою чергу, у Німеччині на посаду професора в будь-якому університеті претендує близько десятка кандидатів (колеги з Констанцського університету розповіли, що за рік вони мали 120 заяв, 50 з яких дуже хороші, а 20 відмінні).

Мало хто з лекцій ювілейного конгресу можна резюмувати в нашому щомісячнику. Пересічному читачеві нічого не скажуть такі заголовки, як «Межі розріджених графів та їх застосування» або «Лінійна структура та геометрія підпросторів та факторпросторів для нормалізованих просторів великої розмірності». Другу тему представив мій друг з перших курсів, Ніколь Томчак.

Декілька років тому вона була номінована за досягнення, представлене на цій лекції. Медаль Філдса - Еквівалент для математиків. Поки що тільки одна жінка отримала цю нагороду. Також варто відзначити лекцію Ганна Марциняк-Чохра (Гейдельберзький університет) "Роль механістичних математичних моделей у медицині на прикладі моделювання лейкемії".

вступив до медицини. У Варшавському університеті гурт під керівництвом проф. Єжи Тюрін.

Назва лекції буде незрозумілою Читачам Веслава Нізіол (z prestiżowej Вища педагогічна школа) “-адична теорія Ходжа«. Тим не менш, саме цю лекцію я вирішив обговорити тут.

Геометрія -адічних світів

Справа починається з простих дрібниць та. Ви пам'ятаєте, Читачу, метод письмового обміну? Безперечно. Згадайте безтурботні роки початкової школи. Розділимо 125051 на 23 (це дія зліва). Чи знаєте ви, що він може бути іншим (дія справа)?

Цей новий метод цікавий. Ідемо з кінця. Нам потрібно поділити 125051 на 23. На що потрібно помножити 23, щоб остання цифра була 1? Шукаємо в пам'яті та маємо: =7. Остання цифра результату 7. Помножуємо, віднімаємо, отримуємо 489. Як потрібно помножити 23, щоб у результаті вийшло 9? Звичайно, на 3. Доходимо до того, що визначаємо усі цифри результату. Ми знаходимо його непрактичнішим та складнішим, ніж наш звичайний метод – але це питання практики!

Інший оборот справа приймає, коли сміливець не ділиться на дільник повністю. Давайте проведемо поділ і подивимося, що вийде.

Зліва звичайний шкільний шлях. Справа «наші дивні».

Ми можемо перевірити обидва результати множенням. Перше ми розуміємо: одна третина числа 4675 складає одну тисячу 8225, а три в періоді. Другий не має сенсу: що це за число, перед яким нескінченна кількість шісток, а потім XNUMX?

Залишимо на мить питання про сенс. Давайте грати. Отже, давайте розділимо 1 на 3, а потім 1 на 7, що становить одну третину та одну сьому. Ми легко отримаємо:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Цей останній рядок означає: блок 285714 нескінченно повторюється на початку, і, нарешті, їх три. Хто не вірить, ось перевірка:

Тепер додамо дроби:

Потім складаємо отримані дивні числа, і ми отримуємо (перевіримо) таке саме дивне число.

......95238095238095238095238010

Ми можемо перевірити, що це одно

Суть ще належить побачити, але арифметика вірна.

Ще один приклад.

Звичайне, хоч і велике, число 40081787109376 має цікаву властивість: його квадрат також закінчується на 40081787109376. Якщо не вірите, нехай перевірить і шукає наступне ліворуч, тобто. число x40081787109376, яке (х40081787109376)² також закінчується на x40081787109376.

Накінечник. У нас є 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, тому наступна цифра є доповненням від трьох до десяти, тобто 7. Давайте перевіримо: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Питання, чому це так, є складним завданням. Це простіше: знайти схожі закінчення чисел, що закінчуються на 5. Продовжуючи процес знаходження наступних цифр до нескінченності, ми прийдемо до таких «числів», що ²=²= (і жодне з цих чисел не дорівнює нулю чи одиниці).

ми добре розуміємо. Що далі після коми, то менш важливою є цифра. В інженерних розрахунках важлива перша цифра після коми, а також друга, але в багатьох випадках можна вважати, що відношення довжини кола до її діаметра дорівнює 3,14. Звичайно, в авіаційну галузь потрібно включити більше цифр, але я не думаю, що їх буде більше ніж десять.

Ім'я з'явилося у назві статті Станіслав Лем (1921–2006), а також наш новий лауреат Нобелівської премії. Леді Ольга Токарчук Я згадав про це лише тому, що кричуща несправедливістьСправа в тому, що Станіслав Лем не отримав Нобелівської премії з літератури. Але це не в нашому кутку.

Лем часто передбачав майбутнє. Він ставив питання, що станеться, коли вони стануть незалежними від людей. Скільки фільмів на цю тему з'явилося останнім часом! Лем досить точно передбачив і описав оптичний рідер та фармакологію майбутнього.

Він знав математику, хоча іноді ставився до неї як до прикраси, не переймаючись правильності розрахунків. Наприклад, в оповіданні "Випробування" пілот "Піркс" виходить на орбіту B68 з періодом обертання 4 години 29 хвилин, а інструкція - 4 години 26 хвилин. Він пам'ятає, що вони розрахували із похибкою 0,3 відсотка. Він віддає дані калькулятору, а калькулятор відповідає, що все нормально ... Ну ні. Три десяті відсотки від 266 хвилин менше хвилини. Але хіба ця помилка щось змінює? Може, це було спеціально?

Чому я пишу про це? Багато математиків також порушували це питання: уявіть собі спільноту. Вони не мають нашого людського розуму. Для нас 1609,12134 та 1609,23245 — дуже близькі числа — добрі наближення до англійської милі. Однак комп'ютери можуть вважати числа 468146123456123456 та 9999999123456123456 близькими. Вони мають однакові дванадцятизначні закінчення.

Чим більше загальних цифр наприкінці, тим ближчі числа. І це призводить до так званої відстані -Адична. Нехай на мить р дорівнюватиме 10; чому просто "на час", поясню ... зараз. 10-точкова відстань чисел, написаних вище, дорівнює 

або одна мільйонна – тому що ці числа мають шість загальних цифр наприкінці. Усі цілі числа від нуля на одиницю чи менше. Я навіть не писатиму шаблон, тому що це не має значення. Чим більше однакових цифр наприкінці, тим ближчі числа (для людини, навпаки, вважаються початкові числа). Важливо, щоб p було простим числом.

Потім – їм подобаються нулі та одиниці, тому вони бачать усі в цих шаблонах: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

У романі «Глос пана» Станіслав Лем наймає вчених, які намагаються прочитати повідомлення, відправлене із потойбіччя, звичайно, з кодом нуль-одиниця. Нам хтось пише? Лем стверджує, що «будь-яке повідомлення можна прочитати, якщо це повідомлення про те, що хтось хотів нам щось сказати». Але чи це так? Я залишу читачів із цією дилемою.

Ми живемо у тривимірному просторі R³. Лист R нагадує, що осі складаються з дійсних чисел, тобто цілих чисел, негативних і позитивних, нуля, раціональних (тобто дробів) та ірраціональних, з якими читачі познайомилися в школі (), і чисел, відомих як трансцендентні числа, недоступні в алгебрі (це число π, більше двох тисяч років, що зв'язує діаметр кола з його колом).

Що, якби на осях нашого простору стояли адичні числа?

Єжи Міодушевський, математик з університету Сілезького, стверджує, що це могло бути так, і навіть що це може бути так. Ми можемо (каже Єжи Міодушевський) займати з такими істотами одне й те саме місце у просторі, не заважаючи і не бачачи один одного.

Отже, ми маємо всю геометрію «їхнього» світу для дослідження. Навряд чи вони думають про нас так само і теж вивчають нашу геометрію, бо наш — прикордонний випадок усіх світів. "Їх", тобто всіх адичних світів, де вони прості числа. Зокрема, = 2 та цей захоплюючий світ нуль-одиниця…

Тут читач статті може розсердитися і навіть роздратуватися. «Це те нісенітниця, яким займаються математики?» Вони фантазують, як п'ють горілку по обіді, причому за мої гроші (= платника податків). І розігнати їх на чотири вітри, хай ідуть у радгоспи... ах, немає більше радгоспів!

Розслабляються. у них завжди була схильність до таких жартів. Дозвольте мені тільки згадати теорему про бутерброди: якщо я маю бутерброд із сиром і шинкою, я можу розрізати його одним розрізом, щоб розділити навпіл булку, шинку та сир. Це марно на практиці. Справа в тому, що це лише жартівливе застосування цікавої загальної теореми з функціонального аналізу.

Наскільки серйозно мати справу з -адичними числами та пов'язаною з ними геометрією? Нагадаю читачеві, що раціональні числа (спрощено: дроби) щільно лежать на прямій, але не заповнюють її впритул.

У «дірках» живуть ірраціональні числа. Їх багато, нескінченно багато, але можна також сказати, що їхня нескінченність більша, ніж у найпростіших, у яких ми вважаємо: один, два, три, чотири… і так до ∞. Це наше людське наповнення «дір». Ми успадкували цю ментальну структуру від піфагорійці. 

Але для математика цікаво і важливо те, що не можна «заповнити» ці діри ірраціональними та p-адичними числами (для всіх простих p). Для тих читачів, які це розуміють (а це викладали у кожній середній школі тридцять років тому), суть у тому, що кожна послідовність, яка задовольняє стан Коші, сходиться.

Простір, у якому це правильно, називається повним («нічого не втрачено»). Я згадаю число 547721051611007740081787109376.

Послідовність 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 і так далі сходить до деякої межі, що дорівнює приблизно 0,5477210516110077400 81787109376.

Однак з точки зору 10-адичного відстані послідовність чисел 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 і так далі також сходить до «дивного» числа… 547721051

Але це може бути недостатнім аргументом, щоб давати вченим державні гроші. Загалом, ми (математики) захищаємося, кажучи, що неможливо передбачити, навіщо буде корисним наше дослідження. Майже, напевно, кожен буде для чогось корисний і що тільки дія на широкому фронті має шанси на успіх.

Один з найбільших винаходів - рентгенівський апарат - був створений після того, як радіоактивність була випадково відкрита. Беккерель. Якби не цей випадок, багато років досліджень, ймовірно, були б марними. "Ми шукаємо спосіб зробити рентгенівський знімок людського тіла".

Зрештою, найголовніше. Усі згодні про те, що роль грає вміння вирішувати рівняння. І тут наші дивні номери добре захищаються. Відповідна теорема (Мінковського ненавиджу) каже, що деякі рівняння можуть бути вирішені в раціональних числах тоді і тільки тоді, коли вони мають дійсне коріння та коріння у кожному -адичному тілі.

Більш-менш такий підхід був представлений Ендрю Вайлз, яке вирішило найвідоміше математичне рівняння останніх трьохсот років - рекомендую читачам ввести його в пошуковик "Велика теорема Ферма".