Колірна математика
Один читач звинуватив мене у політичних алюзіях у моїх статтях з математики. Ну, я говорив лише про навчання. Школа завжди була політичною темою, навіть коли вона мала бути аполітичною з погляду програмного забезпечення. На початку квітня, після запровадження кардинальних обмежень у нашому громадському житті, різко зріс попит на дистанційне навчання. Частина моєї статті є реакцією на серію телевізійних лекцій для учнів початкової школи. Вони викликали бурю у світі викладачів математики — вони були сповнені нісенітниці, як стара бочка з водою, кинута в озеро. Щоб ніхто не звинуватив мене в політизації, я не писатиму, який це був телеканал.
Текст фрагментарний – починаю розмови для дітей молодшого віку, але переходжу до міркувань для дорослих і назад. Це не для того, щоб стомити вас. Спершу для дітей. Це мій голос у дискусії про те, як (ну як можна) говорити з малюками про «Царицю наук».
Вправа 1. Погляньте на першу мою головоломку. Що ви бачите на ньому?
Де ви живете? Позначка. Як ви вважаєте, кольори наших бордюрів я вибрав випадково, чи ви можете знайти обгрунтування, чому “верх” – синьо-зелений, а “низ” – біла фігура? Але чому я написав «нагорі» та «внизу»? Адже ці частини світу називаються… як саме? А два інші? А може, ви знаєте, чому міжнародні позначення чотирьох сторін світла – N, E, W, S?
2. Подивіться на дорожні знаки (1). Які можна назвати квадратними? А чому у першого та третього куточки закруглені? Дізнайтеся, які дорожні знаки мають трикутну, круглу (кругову) та восьмикутну форму. Чому один трикутний знак відрізняється від інших? Чому лише один восьмикутний знак?
1. Які із цих символів квадратні?
Вправа 3. Вийдіть до Інтернету. Підніміть якийсь браузер. Наберіть "квадрат", потім виберіть "картинки" і ... подивіться на картинки, які там є. Не всі, а лише десяток. Виберіть той, що вам більше подобається. Ви вибрали? Тепер спробуй переконати менечому це. Може, ти сам не знаєш? Чи, може, ви знаєте?
Вправа 4. А тепер подивіться мій ребус №2. Чи бачите ви у ньому квадрати? Точно – це червоні всередині. Вони стають більшими. Перший, крихітний, ліворуч має одне око, одну кнопку.
Я відповім одразу. Магічний квадрат – це такий квадрат, у якому сума чисел по горизонталі, вертикалі та діагоналі однакова. Давайте перевіримо: ви, напевно, скажете, що другий вдвічі більший, тому що у нього по дві кнопки з кожного боку. О, невже він удвічі більший? Порахуй, скільки в нього ґудзиків Чотири! Подивимося що буде далі. Третій широкий та три петельки у висоту. Порахуйте шви. Скільки їх там? 25. Четверта четвірка - довга і широка (або висока) четвірка. Чотири рази чотири буде шістнадцять. Так, має шістнадцять стібків. А п'ятий? На кожній стороні по п'ять стібків, скільки їх всього? Браво, 25. Ми говоримо, що цей квадрат має площу XNUMX. Але ви, напевно, це знали. Отже, як показано у таблиці праворуч.
4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=9+5+1=2+7+6= 4+5+6=8+5+2=15.
Вікіпедія слушно пише, що в науці магічні квадрати марні. Вони лише цікаві. Але способи їх побудови цікавіші, ніж самі квадрати. Це як у туризмі: дуже часто мета другорядна, важливий шлях до неї. Давайте розглянемо, як побудувати квадрат двадцять п'ять квадратних метрів. Ставимо ту, що посередині, і згадуємо вже забуту «королівську гру», тобто шахи. Ми стрибнемо прямо на ССВ (північно-північний схід). Вже "трійка" випадає за межі квадрата. Відносимо його на місце (останній у другому ряду знизу). Нагадує музичне "приведення до першої октави". Ми застосовуємо цей принцип послідовно… доки це можливо. Він застряє о шостій. Чи не біда, ставимо шістку під червону п'ятірку, яка вже знаходиться в межах нашого квадрата.
2. Чому цей квадрат "магічний"?
Повертаємось до математики для дітей. Тепер подивіться на верхню частину моєї головоломки № 2. Чи є там квадрати? Ні! Як називаються ці постаті? Беата, як? Ви маєте рацію, прямокутники. Чому вони так звуться? Бо у них прямі кути? Ми поговоримо про це трохи пізніше, а поки що давайте згадаємо, що таке прямий кут. Бартек, як би ти це пояснив тому, хто не знає? Можливо, це такий рівний кут. Ну, хай буде. Якщо ми їдемо на машині і повертаємо під прямим кутом, то ні дуже вперед, ні дуже далеко назад, а рівно вбік. Селіно, встань і повернися під прямим кутом. Ліворуч чи праворуч? Як ви хочете.
Поговоримо також про фігури вгорі, тобто прямокутники. Хто з них товстий, худий, стрункий, високий, низький, менш довгастий, більш довгастий? Ви напевно погодитеся, що жовтий справа довгий, худий і високий. Але будь обережним. Якщо він лежатиме на боці, то теж буде довгим, але коротким. Ви б назвали його "жирним"?
3. Початок побудови магічного квадрата 5 на 5.
4. Як збудувати магічний квадрат 5 на 5?
Тепер знову дві вставки для старших читачів. Перший – 100. Я думаю, що 100 – це сотня у будь-якій слов'янській мові. Це важливо для лінгвістів. Назва цього числа розрізняє дві групи індоєвропейських мов, до яких відносяться всі мови на нашому континенті, крім фінської, угорської, естонської баскської та маловідомої бретонської.
У мовах, що розвинулися в першу хвилю переселень народів, слово 100 розвинулося (грецька) і (латинська), звідки походять і французька, і німецька (і, звичайно, англійська). Ось чому ми називаємо ці мови центумами.
Наша мова належить до групи центральних, або сатемічних, мов, бо після палаталізації (пом'якшення) прамова прийняла цю гарну і коротку форму сотні. Сто років, сто років, хай живе.
5. Для поціновувачів. Магічний квадрат, складений із простих чисел.
Друга вставка довша, але зовсім у крапку.
Математик і
покажчик BMI Я зацікавився за потребою. Нагадаю, що це показник, який порівнює та оцінює відповідність ваги дорослого пацієнта теоретично встановленій нормі. Математична формула проста: розділіть вагу (у кілограмах) на квадрат свого зросту (в метрах). Передбачається, що межею надмірної ваги є приватна від 25. За цією шкалою відомий іспанський тенісист Рафаель Надаль має майже надмірну вагу (185 см, 85 кг), що дає ІМТ 24,85. Худий як тріска, його суперник серб Новак Джокович має зріст 21,79 і легко вкладається у нормальні межі ваги. У автора цих слів... не скажу, наскільки високий цей показник. Однак, як нижня межа правильної ваги для мене (180 см) це… 61 кг. 180-кілограмовий хлопець при вазі 61 кг напевно впав би при будь-якому пориві вітру. Я вважаю, що хоча сам принцип індикатора правильний, таке налаштування параметрів, ймовірно, було нав'язано фармацевтичними компаніями (таблетки для схуднення).
Самі лікарі усвідомлюють, що цей показник не враховує особистісних особливостей пацієнта. Я також додам математичний факт. Літні люди худнуть. Їхній хребет руйнується. У молодості у мене був зріст 184 см, зараз 180 см. Якби я важив 100 кг, то «тоді», тобто при зростанні 184 см, це дало б показник 29,5 (надлишкова вага І ступеня), а зараз, що при зростанні 180 см це буде 30,9 (надлишкова вага другого ступеня). І все ж таки «я» не стиснулося, тільки хребет викривився.
Перевіримо індекс ІМТ на «постійність показників». Справа в тому, що не повинно мати значення, чи дані в метричній системі (кілограми і метри) або, наприклад, в англійських фунтах і футах. Звичайно, числа будуть іншими, як і числа, що виражають швидкість руху в милях та кілометрах. Але можна легко перетворити одне на інше без суперечності. Тут відступ. Милі легко перевести за кілометри. Але коли його запитали, як великий холодильник, мій канадський друг відповів: «27 кубічних футів». І будь тут розумницею. Ще гірша справа при визначенні витрати палива автомобіля. У США та Канаді вони оцінюють це як «Скільки миль я проїду на галон?» Читач, може бути, ви зможете судити (порахувати), багато це чи мало 60 миль на галон? Інший галон США відрізняється від канадського (також званого імперським) галона. Щоправда, у Канаді вже багато років діють метричні заходи, але змінити звички не так просто.
А ось з ІМТ усе гаразд. Оскільки англійський фут дорівнює 30,48 см, а фунт дорівнює 0,454 кг, результат англійського ІМТ (виражений у фунтах ваги на квадратний фут зростання) необхідно помножити на 0,454 та 0,30482, що дорівнює 4,88. Людина зростом 180 см важить 220,26 фунта та 5,9 фута. Обидва способи розрахунку ІМТ однакові, 30,9.
Тепер найцікавіше (з погляду математики). В одній із своїх книг я описав «індекс округлості» — наскільки сильно округлі форми схожі на коло. Скільки - тобто математично "скільки відсотків". Колесо, звичайно, на 100 відсотків кругле. І інші цифри? Як це виміряти?
Застосуємо цю ідею вимірювання того, наскільки прямокутник «схожий» на квадрат. Назвемо це «заходом руйнування». Квадрат повинен бути на 100% тріснутим, вірно? Математик вважає за краще говорити, що тріщина квадрата дорівнює 1, а тріщина вузьких прямокутників відповідно менше.
Застосуємо до прямокутників щось на зразок індексу маси тіла. Розділимо площу на квадрат периметра. Скільки коштує квадрат із стороною а? Це просто 1/16 облікових записів. Щоб отримати індекс, що дорівнює 1, давайте помножимо на 16. Таким чином, індекс маси тіла для прямокутників дорівнює
Тепер уявіть, що прямокутники йдуть до лікаря. - Я збираюся розрахувати ваш ІМТ, - каже лікар. Будь ласка, по одному. Ось результати. Який із них схуднути?
6. Який прямокутник для схуднення, а який аноректичний? Розрахувати їх
Заява. ІМТ відноситься до людей як до плоских істот! Цей індикатор працює добре (без урахування граничних рівнів). Проте математики налаштовані скептично. Це дуже просто, щоб бути універсальним. До дуже простих математичних формул для опису біологічних та соціальних явищ слід ставитися з великою обережністю.
Ми повернулися до чату для дітей молодшого віку. Давайте ще раз подивимося на ребус номер 2. Ми погодилися, дорогі діти, це правда, що прямокутник має тільки прямі кути. Дивно, якби було інакше. Але фігури внизу (синя піраміда), фіолетова «крутилка» та синя вертушка теж мають лише прямі кути. Може вони прямокутні? Ні, люди зійшлися на думці, що прямокутники — це тільки ті, що мають чотири прямі кути, не більше.
Навчіться правильно мислити. Подивися:
Якщо щось є прямокутником, воно має тільки прямі кути. Це не те саме, що:
Якщо щось має лише прямі кути, це прямокутник.
Чому? Замість прямокутника візьміть кішку та собаку, замість прямих кутів візьміть лапи. Ви знаєте тепер? Безперечно!
Коментар для дорослих (і не лише). У юності було гасло: У мислення величезне майбутнє! Я хочу, щоби це було так давно.
Розумію. Важливе питання. Чи є квадрат прямокутником? Є! У нього чотири прямі кути! Можна сказати, що квадрат – це найрівніший прямокутник. Кожна сторона має однакову довжину.
Ми продовжимо робити чудові головоломки. Ви точно знаєте, що таке парне число. Якщо клас встановлений парами, то хтось залишиться без пари, або... не залишиться. 12 парне число? так. Коли дванадцять людей хочуть грати у волейбол, їм легко сформувати дві команди. Двічі шість буде дванадцять. А якщо ті самі люди захочуть пограти в пінг-понг, вони можуть утворити шість пар. Шість разів зо два теж дванадцять.
Що у них спільного: сірник, весілля, поєдинок, дзеркало та монета? Номер два. У матчі дві команди, чоловік і жінка одружуються (так, чоловік і жінка – він одружується, вона виходить заміж). У поєдинку б'ються два суперники, у дзеркалі ми бачимо трохи іншого мене. У медалі дві сторони. Як вони звуться? Орел або решка. Ми маємо орел на польських монетах. Ви знаєте когось, у кого є брат-близнюк чи сестра-близнюк? Давним-давно в селах використовувалися «близнюки» — дві з'єднані судини, одна для супу, друга для… другої страви.
А можливо, ви розумієте слова: двійник, симетрія, інверсія, двоїстість, протилежність, двійники, дует, тандем, альтернатива, негатив, заперечення?
Якщо кімната має два виходи (або вхід і вихід, як вам більше подобається), чи будемо ми говорити, що має «дві двері»? Ні, якось не так. Як це правильно? Чому ми так говоримо? А якщо ми додамо ще один вхід до дводверної кімнати і поставимо туди двері, скільки буде дверей? Три? О ні….
«Фронт» йде пліч-о-пліч з «тилом». Де "ліворуч", там і "праворуч", якщо щось не "вгорі", то може бути "внизу". Якби не було плюсу, мінус був би не потрібен. Номер два чудовий.
Співають: “Дві собачки…” Ти знаєш мелодію? Якщо ні, вчись.
Скільки блоків у наступній головоломці? Я не знаю, ми навіть не рахуватимемо. Я хочу сказати, не рахуючи, я знаю, що є парне число. Чому? Кацпер, звідки я знаю? Ти вже знаєш? Як ти кажеш? Що усі рівні? Для того ж!
Плавно. До пари. Вас не бентежить, що зліва рожевий темніший, ніж праворуч?
Що навіть немає. Пам'ятаю, у дитинстві я грав у футбол, завжди була проблема, якщо нас сім, дев'ять, одинадцять, тринадцять… Не можна було поділити на дві рівні команди. Рішення було у тому, що ми грали на один гол. Воротар не належав до жодної з команд. Йому доводилося захищатись від кожного удару.
Завдання не тільки для дорослих. Наведіть приклади транспортних засобів, у яких кількість коліс непарна (запасне колесо в автомобілі не рахуємо). Якось я помітив, що це могла бути… канатна дорога на Каспрови Верх – машина котилася канатом на семи колесах. Але тепер я не знаю як це.
Скільки блоків у четвертій головоломці? Чи є парне чи непарне число? Петре, це для тебе! Як ви її вирішуватимете? Ви хочете рахувати, і тоді ви будете знати? Ну ось, а чи не помилитеся ви у цьому підрахунку? Подивіться, чи все одно.
У давнину непарні числа вважалися кращими. Сьогодні ми віддаємо перевагу паритету. А ви знали, що якщо ми даруємо комусь квіти, то їх має бути непарна кількість? Звичайно, це не стосується величезних букетів.
Уявне завдання… можливо, не тільки для дорослих. Хто гідний слів вдячності, квітів та поваги від усіх нас (і не будемо цього боятися – солідної нагороди!) за самовіддану, виснажливу, довгу, важку та ризиковану працю, щоб ми не хворіли, а якщо ми захворіємо, одужати якнайшвидше?
