Зворотня чарівність

Про «принади протилежностей» багато говорять, і не лише в математиці. Пам'ятайте, що протилежні числа — це ті, що відрізняються лише знаком: плюс 7 та мінус 7. Сума протилежних чисел дорівнює нулю. Але для нас (тобто математиків) цікавіші зворотні числа. Якщо добуток чисел дорівнює 1, то ці числа обернені один до одного. Кожне число має свою протилежність, кожне ненульове число має зворотну. Назад до зворотного є початковим числом.

Інверсія виникає скрізь, де дві величини пов'язані один з одним так, що якщо одна збільшується, інша зменшується з відповідною швидкістю. "Відповідне" означає, що твір цих кількостей не змінюється. Ми пам'ятаємо зі школи: це зворотна пропорційність. Якщо я хочу дістатися до пункту призначення вдвічі швидше (тобто скоротити час удвічі), мені потрібно подвоїти швидкість. Якщо зменшити обсяг запаяної посудини з газом у n разів, то її тиск збільшиться у n разів.

У початковій освіті ми ретельно розрізняємо диференціальне та відносне порівняння. "Наскільки більше"? - "У скільки разів більше?"

Ось деякі шкільні заходи:

Завдання 1. З двох позитивних величин перша в 5 разів більша за другу і в той же час у 5 разів більша за першу. Які розміри?

Завдання 2. Якщо одне число більше другого на 3, а друге більше третього на 2, то наскільки перше число більше третього? Якщо перше позитивне число вдвічі більше другого, а перше число втричі більше третього, то у скільки разів перше число більше третього?

Завдання 3. У завданні 2 допустимі лише натуральні числа. Чи можливе таке розташування, як описано там?

Завдання 4. З двох позитивних величин перша в 5 разів більша за другу, а друга в 5 разів більша за першу. Чи це можливо?

Поняття "середній" або "середній" здається дуже простим. Якщо я проїхав велосипедом 55 км у понеділок, 45 км у вівторок і 80 км у середу, в середньому я проїжджав велосипедом 60 км на день. Ми беззастережно згодні з цими розрахунками, хоча вони трохи дивні, тому що я не проїжджав 60 км за день. Ми так само легко приймаємо частки людини: якщо протягом шести днів ресторан відвідують двісті осіб, то середньодобова норма становить 33 з третиною. Хм!

Є проблеми лише із середнім розміром. Мені подобається велотуризм. Ось я і скористався пропозицією турфірми «Поїхали з нами» – вони доставляють багаж до готелю, куди клієнт їде велосипедом у рекреаційних цілях. У п'ятницю я проїхав чотири години: перші дві зі швидкістю 24 км на годину. Потім я так втомився, що за наступні два зі швидкістю лише 16 на годину. Яка була середня швидкість? Звичайно (24+16)/2=20км=20км/год.

У суботу, однак, багаж залишили в готелі, і я поїхав дивитися руїни замку, що за 24 км, і, побачивши їх, повернувся. Їхала година в один бік, назад поверталася повільніше, зі швидкістю 16 км на годину. Якою була моя середня швидкість на маршруті «готель-замок-готель»? 20 км на годину? Звичайно, ні. Адже я проїхав загалом 48 км і на це у мене пішло година («туди») і півтори години тому. 48 км за дві з половиною години, тобто. годину 48/2,5 = 192/10 = 19,2 км! У цій ситуації середня швидкість є не середня арифметична, а гармоніка заданих величин:

і цю двоповерхову формулу можна прочитати так: середнє гармонічне позитивних чисел є величина, обернена до середнього арифметичного їх зворотної величини. Зворотне від суми обернених фігурує в багатьох хорах шкільних завдань: якщо один робітник копає годин, інший — годин, то, працюючи разом, вони копають вчасно. басейн з водою (один на годину, інший у години). Якщо в одного резистора R1, а в іншого R2, вони мають паралельний опір. 

Якщо один комп'ютер може вирішити завдання за секунди, інший комп'ютер за b секунд, то при їх спільній роботі.

Зупинятись! На цьому аналогія закінчується, тому що все залежить від швидкості: ефективності з'єднань. Робітники також можуть заважати чи допомагати один одному. Якщо одна людина може вирити колодязь за вісім годин, чи вісімдесят робітників зможуть зробити це за 1/10 години (або за 6 хвилин)? Якщо шість носіїв за 6 хвилин доставлять піаніно на перший поверх, скільки часу знадобиться одному з них, щоб доставити піаніно на шістдесятий поверх? Абсурдність таких завдань змушує згадати про обмежену застосування всієї математики до завдань «з життя».

Про продавця в цілому 

Терези більше не використовуються. Нагадаємо, що на одну чашу таких ваг клали гирю, на іншу - товар, що зважується, і коли гиря знаходилася в рівновазі, то і товар важив стільки ж, скільки і гиря. Зрозуміло, обидва плечі вагового вантажу мають бути однаковою довжини, інакше зважування буде неправильним.

О вірно. Уявіть продавця, який має вагу з нерівними плечима. Проте він хоче бути чесним із покупцями та зважує товар двома партіями. Спочатку він кладе на одну сковороду вагу, а на іншу відповідну кількість товару так, щоб ваги були в рівновазі. Потім він зважує другу "половину" товару у зворотному порядку, тобто кладе вагу на другу чашу, а товар - на першу. Оскільки руки нерівні, "половинки" ніколи не бувають рівними. І у продавця совість чиста, і покупці хвалять його чесність: «що тут прибрав, потім додав».

Однак уважніше подивимося на поведінку продавця, який хоче бути чесним, незважаючи на ненадійну вагу. Нехай плечі ваги мають довжини а і Ь. Якщо одна з чаш навантажена кілограмовою вагою, а інша – х товарів, то ваги перебувають у рівновазі, якщо ах = Ь вперше та Ьх = а вдруге. Отже, перша частина товару дорівнює б/а кілограма, друга частина – а/б. Хороша вага має a = b, отже покупець отримає 2 кг товару. Подивимося, що станеться за a ≠ b. Тоді a – b ≠ 0 та зі скороченої формули множення маємо

Ми дійшли несподіваного результату: начебто справедливий метод «усереднення» виміру у разі працює на користь покупцю, який отримує більше товару.

завдання 5. (Важливо, аж ніяк не з математики!). Комар важить 2,5 міліграма, а слон – п'ять тонн (це цілком вірні дані). Розрахуйте середню арифметичну, геометричну та гармонійну маси (ваги) комара та слона. Перевірте розрахунки і подивіться, чи вони мають будь-який сенс крім арифметичних вправ. Розглянемо інші приклади математичних обчислень, які мають сенсу «реального життя». Порада: ми вже розглянули один приклад у цій статті. Чи означає це, що анонімний студент, чию думку я знайшов в Інтернеті, мав рацію: «Математика дурить людей числами»?

Так, згоден, що у величі математики можна “дурити” людей – у кожній другій рекламі шампуню написано, що він збільшує пухнастість на якийсь відсоток. Чи шукатимемо інші приклади корисних повсякденних інструментів, які можна використовувати для злочинної діяльності?

Грами!

Назва цього уривка є дієсловом (перша особа множини), а не іменником (називний відмінок множини від однієї тисячної кілограма). Гармонія передбачає порядок та музику. Для давніх греків музика була галуззю науки — треба визнати, якщо ми говоримо, ми переносимо нинішнє значення слова «наука» на якийсь час до нашої ери. Піфагор жив у XNUMX столітті до н.е. Він не знав ні арабських, ні навіть римських цифр (вони узвичаїлися приблизно в V столітті до нашої ери), він не знав, що таке Пунічні війни… Але він знав музику…

Він знав, що на струнних інструментах коефіцієнти коливань обернено пропорційні довжині вібруючих частин струн. Він знав, він знав, він просто не міг висловити так, як ми це робимо сьогодні.

Частоти двох коливань струни, що становлять октаву, знаходяться у співвідношенні 1:2, тобто частота вищої ноти вдвічі вища за частоту нижчу. Правильне співвідношення вібрації для квінти 2:3, кварти 3:4 чистої мажорної терції 4:5 мінорної терції 5:6. Це приємні консонансні інтервали. Потім йдуть два нейтральних, із співвідношеннями коливань 6:7 і 7:8, потім дисонують – великий тон (8:9), малий тон (9:10). Ці дроби (відносини) подібні до відносин послідовних членів послідовності, яку математики (саме з цієї причини) називають гармонійним рядом:

- Теоретично нескінченна сума. Співвідношення коливань октави можна записати як 2:4 і поставити між ними квінту: 2:3:4, тобто ми розіб'ємо октаву на квінту та кварту. Це в математиці називається гармонійним сегментним розподілом:

Рис. 1. Для музиканта: розподіл октави АВ на квінту АС.Для математика: гармонійна сегментація

Що я маю на увазі, коли говорю (вище) про теоретично нескінченну суму, наприклад про гармонійний ряд? Виявляється, такою сумою може бути будь-яке велике число, головне щоб ми досить довго складали. Інгредієнтів стає дедалі менше, та їх стає дедалі більше. Що переважає? Тут ми вступаємо у область математичного аналізу. Виходить, що інгредієнти виснажуються, але дуже швидко. Я покажу, що, взявши достатньо інгредієнтів, можу скласти суму:

довільно великий. Візьмемо для прикладу n = 1024. Давайте згрупуємо слова, як показано на малюнку:

У кожній дужці кожне слово більше попереднього, крім, звичайно, останнього, яке дорівнює самому собі. У наступних дужках у нас є 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 та 512 компонентів; значення суми у кожній дужці більше ½. Все це більше ніж 5½. Точніші розрахунки показали б, що ця сума становить приблизно 7,50918. Не сильно, але завжди, і ви можете бачити, що, взявши n будь-яким великим, я можу перевершити будь-яке число. Цей неймовірно повільний (наприклад, ми перевищуємо десятку тільки з інгредієнтами), але нескінченне зростання завжди чарувало математиків.

Подорож у нескінченність із гармонійним рядом

Ось загадка до досить серйозної математики. У нас є необмежений запас прямокутних блоків (та що я говорю, прямокутних!) з розмірами, скажімо, 4×2×1. Розглянемо систему, що складається з кількох (на рис. 2 – чотири) блоки, розташовані так, що перший нахилений на ½ своєї довжини, другий зверху на ¼ і так далі, третій на одну шосту. Ну, можливо, щоб зробити його дійсно стійким, давайте першу цеглу трохи менше нахиляємо. Для розрахунків це має значення.

Рис. 2. Визначення центру важкості

Також легко зрозуміти, що оскільки фігура, складена з перших двох блоків (вважаючи зверху), має центр симетрії в точці, то є центром тяжкості. Визначимо геометричний центр ваги системи, складеної з трьох верхніх блоків. Тут досить простого міркування. Розділимо подумки триблочну композицію на дві верхні та третю нижню. Цей центр повинен лежати на перетині, що сполучає центри тяжкості двох частин. Який момент цього епізоду?

Є два способи позначення. У першому скористаємося тим спостереженням, що цей центр повинен лежати в середині триблочної піраміди, тобто на прямій, що перетинає другий, середній блок. У другому способі ми розуміємо, що оскільки два верхніх блоки мають загальну масу в два рази більше, ніж одиночний блок № 3 (зверху), центр тяжіння на цьому перерізі повинен бути вдвічі ближче до B, ніж до центру S третього блоку. Аналогічно знаходимо таку точку: з'єднуємо знайдений центр трьох блоків із центром S четвертого блоку. Центр всієї системи знаходиться на висоті 2 і в точці, яка поділяє відрізок на 1 до 3 (тобто на ¾ його довжини).

Обчислення, які ми проведемо трохи далі, призводять до результату на рис. рис. 3. Послідовні центри тяжкості віддалені від правого краю нижнього блоку:

Таким чином, проекція центру тяжкості піраміди завжди знаходиться в межах основи. Вежа не перекинеться. Тепер давайте подивимося на рис. 3 і на мить давайте використовуємо п'ятий блок зверху як основу (той, що відзначений яскравішим кольором). Верхній нахилений:

таким чином, його лівий край на 1 далі правого краю основи. Ось наступний помах:

Яке найбільше вагання? Ми вже знаємо! Нема найбільшого! Взявши навіть найменші блоки, можна отримати звис за один кілометр — на жаль, лише математично: всієї Землі не вистачило б, щоб збудувати стільки блоків!

Рис. 3. Додаємо ще блоки

Тепер розрахунки, які ми залишили вищим. Ми розраховуватимемо всі відстані «по горизонталі» по осі абсцис, тому що це все, про що йдеться. Крапка А (центр тяжкості першого блоку) знаходиться на 1/2 від правого краю. Точка B (центр двоблокової системи) знаходиться на відстані 1/4 від правого краю другого блоку. Нехай точкою відліку буде кінець другого блоку (зараз ми перейдемо до третього). Наприклад, де знаходиться центр тяжкості одинарного блоку №3? Половина довжини цього блоку, отже, він віддалений від нашої точки відліку на 1/2 + 1/4 = 3/4. Де знаходиться точка С? У двох третинах відрізка між 3/4 та 1/4, тобто у точці до, міняємо точку відліку на правий край третього блоку. Центр тяжкості триблочної системи тепер віддалений від нової точки відліку тощо. Центр тяжкості С_n башти, складеної з n блоків, видалена на 1/2n від миттєвої точки відліку, яка є правим краєм базового блоку, тобто n-го блоку зверху.

Оскільки ряд обернених величин розходиться, ми можемо отримати будь-яку велику варіацію. Чи це могло бути реалізовано насправді? Це як нескінченна цегляна вежа — рано чи пізно вона звалиться під власною вагою. У нашій схемі мінімальні неточності у розміщенні блоків (і повільне збільшення часткових сум ряду) означають, що ми не просунемося далеко.