П'ять разів у око

Наприкінці 2020 року у вузах та школах було проведено кілька заходів, перенесених із … березня. Одним із них було «святкування» дня числа пі. З цього приводу 8 грудня я прочитав віддалену лекцію в Сілезькому університеті, і ця стаття є резюме лекції. Вся вечірка розпочалася о 9.42, а моя лекція призначена на 10.28. Звідки така точність? Все просто: 3 помножити на пі – це приблизно 9,42, а π у 2-му ступені – приблизно 9,88, а година 9 у 88-му ступені – це 10 у 28-му…

Звичай шанувати це число, виражає відношення довжини кола до її діаметру і іноді називається постійною Архімеда (а також у німецькомовних культурах), походить із США (Дивіться також: ). 3.14 березня "по-американськи" о 22:22, звідси й ідея. Польський еквівалент може бути 7 липня, бо дріб 14/XNUMX добре апроксимує π, що вже знав… Архімед. Що ж, XNUMX березня – найкращий час для супутніх заходів.

Ці три і чотирнадцять сотих — одне з небагатьох математичних послань, що залишилися зі школи на все життя. Всі знають, що це означаєп'ять разів у око“. Воно настільки укорінилося в мові, що його важко висловити по-іншому і так само витончено. Коли я запитав у автомайстерні, скільки може коштувати ремонт, механік задумався і сказав: «п'ять разів близько восьмисот злотих». Я вирішив скористатися ситуацією. "Ви маєте на увазі грубе наближення?". Механік, мабуть, подумав, що я не почув, тому повторив: «Я точно не знаю скільки, але п'ять разів на око буде 800».

.

Про що це? У правописі до Другої світової війни "ні" використовувалося разом, і я залишив його там. Ми не маємо тут справу з надмірно пишномовною поезією, хоча мені подобається думка, що «золотий корабель качає щастя». Запитайте учнів: що означає ця думка? Але цінність цього тексту в іншому. Кількість літер у наступних словах – це цифри розширення пі. Давайте подивимося:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

У 1596 році голландський вчений німецького походження Людольф ван Сеулен обчислив значення числа пі з точністю до 35 знаків після коми. Потім ці постаті вигравірували на його могилі. Вона присвятила вірш числу пі та нашому нобелівському лауреату, Вислава Шимборска. Шимборська була зачарована неперіодичністю цього числа і тим, що з ймовірністю 1 там зустрічатиметься кожна послідовність цифр, наприклад, наш номер телефону. У той час як перша властивість притаманна кожному ірраціональному числу (яке ми повинні пам'ятати ще зі школи), друга — цікавий математичний факт, який важко довести. Ви навіть можете знайти програми, які пропонують: дайте мені свій номер телефону, і я скажу вам, де він знаходиться в пі.

Де круглість, там і сон. Якщо у нас є кругле озеро, то прогулянка навколо нього в 1,57 рази довша, ніж уплав. Звичайно, це не означає, що ми пливтимемо в півтора-два рази повільніше, ніж ми пройдемо. Я розділив світовий рекорд із плавання на 100 метрів зі світовим рекордом на 100 метрів. Цікаво, що у чоловіків і жінок результат практично однаковий і становить 4,9. Ми плаваємо у 5 разів повільніше, ніж біжимо. Веслування зовсім інше – а ось цікаве завдання. Там досить довгий сюжет.

Рятуючись від лиходія, гарний і шляхетний Добрий відплив до озера. Лиходій біжить уздовж берега і чекає, коли вона змусить його приземлитися. Звичайно, він бігає швидше, ніж Добрий гребе, а при рівному бігу Добрий швидше. Отже єдиний шанс для Зла – дістати Добро біля берега – точний постріл з револьвера не варіант, т.к. Добро є цінна інформація, яку хоче знати Зло.

Гуд дотримується наступної стратегії. Він пливе озером, поступово наближаючись до берега, але намагаючись завжди бути на протилежному боці від Злого, який хаотично бігає то вліво, то вправо. Це показано малюнку. Нехай початкова позиція Зла буде Z₁, а Добре – середина озера. Коли Zly переміщається до Z₁, Добро до Д.₁коли Bad знаходиться в Z₂, Добре на D₂. Воно буде текти зигзагоподібно, але з дотриманням правила: якнайдалі від Z. Однак у міру віддалення від центру озера Добро має рухатися все більшими і більшими колами і в якийсь момент він не може утриматися принцип «бути по той бік Зла». Тоді він щосили греб до берега, сподіваючись, що Лукавий не обмине озеро. Чи вдасться Добру?

Відповідь залежить від того, наскільки швидко Хороший може веслувати по відношенню до вартості ніг Поганого. Припустимо, що Погана людина біжить зі швидкістю, що в раз перевищує швидкість Хорошого на озері. Отже, найбільше коло, яким Добро може гребти, щоб протистояти Злу, має радіус, у раз менший, ніж радіус озера. Отже, на кресленні ми маємо. У точці W наш Добрий починає гребти до берега. Це має йти 

 зі швидкістю

Йому потрібен час.

Злий ганяється за всіма своїми найкращими ногами. Він повинен пройти половину кола, на що в нього підуть секунди чи хвилини, залежно від обраних одиниць. Якщо це більше, ніж щасливий кінець:

Гарний піде. Прості рахунки показують, що це має бути. Якщо Погана людина біжить швидше, ніж у 4,14 рази швидше за Хорошу, це погано закінчується. І тут також втручається наше число пі.

Те, що кругле, гарне. Погляньмо на фото трьох декоративних тарілок – вони у мене після батьків. Яка площа криволінійного трикутника між ними? Це просте завдання; відповідь на тій самій фотографії. Нас не дивує, що воно з'являється у формулі — де ж округлість, там і пі.

Я використовував можливе незнайоме слово:. Так називається число пі в німецькомовній культурі, і все це завдяки голландцям (фактично німець, який жив у Нідерландах – національність на той час не мала значення), Лудольф із Сеулени. У 1596 р він вирахував 35 цифр його розкладання до десяткової. Цей рекорд протримався до 1853 року, коли Вільям Резерфорд нарахував 440 місць. Рекордсменом за ручними розрахунками є (напевно назавжди) Вільям Шенкс, який після багатьох років роботи опублікував (1873 р.) розширення до 702 цифр. Лише 1946 року останні 180 цифр було визнано невірними, проте так і залишилося. 527 правильно. Цікаво було знайти сам баг. Незабаром після публікації результату Шанкса запідозрили, що «щось не так» — сімок у розробці підозріло мало. Ще недоведена (грудень 2020 р.) гіпотеза свідчить, що це цифри мають з'являтися з однаковою частотою. Це спонукало Д. Т. Фергюсон переглянути розрахунки Шенкса і знайти помилку «учня»!

Пізніше людям допомогли калькулятори та комп'ютери. Поточний (грудень 2020 р.) рекордсмен Тімоті Маллікан (50 трильйонів десяткових знаків). Розрахунки зайняли... 303 дні. Пограємо: скільки місця зайняло б це число, надруковане у стандартній книжці. Донедавна друкована «сторона» тексту становила 1800 знаків (30 рядків по 60 рядків). Давайте скоротимо кількість символів та поля сторінки, впихнемо 5000 символів на сторінку та надрукуємо книги по 50 сторінок. Таким чином, XNUMX трильйонів символів зайняли б десять мільйонів книг. Непогано, правда?

Питання, у чому сенс такої боротьби? З суто економічної точки зору, чому платник податків має платити за такі «розваги» математиків? Відповідь не складна. Перший, із Сеулену винайшов заготовки для розрахунківпотім корисно для логарифмічних обчислень. Якби йому сказали: будь ласка, будуйте заготовки, він відповів би: навіщо? Аналогічно команда. Як відомо, це відкриття було не зовсім випадковим, а все ж таки побічним продуктом досліджень іншого типу.

По-друге, давайте прочитаємо, що він пише Тімоті Маллікан. Ось репродукція початку його творчості. Професор Маллікан займається кібербезпекою, а числа пі - це таке дрібне хобі, на якому він просто тестував свою нову систему кібербезпеки.

А що 3,14159 в інженерії хоч греблю гати, це інша справа. Проведемо простий розрахунок. Юпітер віддалений від Сонця на 4,774 Тм (тераметр = 1012 метрів). Щоб обчислити довжину кола такого кола з таким радіусом з абсурдною точністю 1 міліметр, достатньо було б взяти π = 3,1415926535897932.

На наступному фото показано чверть кола із цеглинок Lego. Я використав колодки 1774, і це було число пі приблизно 3,08. Не найкращий, але чого чекати? Коло не можна скласти із квадратів.

Точно. Число π відоме тим, що квадрат кола – математичне завдання, яке чекало на своє рішення понад 2000 років – з грецьких часів. Чи можна за допомогою циркуля та лінійки побудувати квадрат, площа якого дорівнює площі даного кола?

Термін «квадрат кола» проник у розмовну мову як символ чогось неможливого. Я натискаю клавішу, щоб запитати, чи це щось на зразок спроби заповнити траншею ворожнечі, яка розділяє громадян нашої прекрасної країни? Але я вже уникаю цієї теми, бо, напевно, тільки в математиці відчуваю.

І знову те саме – вирішення задачі про квадратуру кола з'явилося не таким чином, щоб автор рішення, Чарльз ЛіндеманнУ 1882 році він був налаштований і, нарешті, досяг успіху. Певною мірою так, але це був результат атаки з широкого фронту. Математики з'ясували, що числа бувають різних видів. Не тільки цілі числа, раціональні (тобто дроби) та ірраціональні. Невимірність також може бути кращою і гіршою. Ми, можливо, пам'ятаємо зі школи, що ірраціональним числом є √2 — число, яке виражає відношення довжини діагоналі квадрата до його довжини сторони. Як і будь-яке ірраціональне число, воно має невизначене розширення. Нагадаю, що періодичне розкладання це властивість раціональних чисел, тобто. приватних цілих чисел:

Тут нескінченно повторюється послідовність чисел 142857. Для цього не відбудеться – це частина ірраціональності. Але ви можете:

(Фракція триває вічно). Ми тут закономірність, але іншого типу. Пи навіть не таке звичайне. Його не можна отримати, вирішуючи рівняння алгебри — тобто таке, в якому немає ні кореня квадратного, ні логарифму, ні тригонометричних функцій. Це вже показує, що воно неконструйоване – малювання кіл призводить до квадратичних функцій, а ліній – прямих – до рівнянь першого ступеня.

Можливо я відхилився від основного сюжету. Тільки розвиток усієї математики дозволив повернутися до витоків — до стародавньої прекрасної математики мислителів, які створили нам європейську культуру думки, настільки сумнівну сьогодні деякими.

З багатьох репрезентативних патернів я вибрав два. Перший з них ми пов'язуємо із прізвищем Готфріда Вільгельма Лейбніца (1646-1716).

Але він був відомий (модель, а не Лейбніц) середньовічному вченому індуїстському Мадхаве з Сангамаграми (1350-1425). Передача інформації на той час була невелика – інтернет-з'єднання часто глючили, а акумуляторів для мобільних телефонів не було (бо електроніку ще не винайшли!). Формула красива, але марна для розрахунків. Зі ста інгредієнтів виходить «всього» 3,15159.

він трохи кращий Формула В'єта (Той, що з квадратних рівнянь), і його формулу легко запрограмувати, тому що наступний член у творі – це квадратний корінь із попереднього плюс два.

Ми знаємо, що коло кругле. Можна сказати, що це 100-відсотковий раунд. Математик запитає: чи може бути щось не на 1 відсотків круглим? Очевидно, це оксюморон, фраза, що містить приховане протиріччя, таке, як, наприклад, гарячий лід. Але спробуємо зміряти, наскільки круглими можуть бути фігури. Виявляється, хороша міра дається наступною формулою, в якій S — площа, а L — довжина кола фігури. З'ясуємо, що коло справді кругле, що сигма дорівнює 6. Площа кола – це довжина кола. Вставляємо і бачимо, що правильно. Наскільки круглий квадрат? Розрахунки настільки ж прості, я навіть не буду їх наводити. Візьмемо правильний шестикутник, вписаний у коло з радіусом. Периметр, очевидно, дорівнює XNUMX.

поляк

А звичайний шестигранник? Його довжина кола дорівнює 6, а площа

Отже, у нас є

що приблизно дорівнює 0,952. Шестикутник "круглий" більш ніж на 95%.

Цікавий результат виходить при розрахунку округлості спортивного стадіону. Згідно з правилами ІААФ, прямі та криві повинні мати довжину 40 метрів, хоча допускаються відхилення. Я пам'ятаю, що стадіон Біслет в Осло був вузьким та довгим. Пишу "була", тому що навіть бігала на ній (на любителя!), але більше XNUMX років тому. Давайте подивимося:

Якщо дуга радіусом 100 метрів, радіус цієї дуги складає метри. Площа газону становить квадратні метри, а площа його межами (там, де є трампліни) у сумі становить квадратні метри. Підставимо це у формулу:

То чи має округлість спортивного стадіону якесь відношення до рівностороннього трикутника? Тому що висота рівностороннього трикутника в стільки ж разів більша за сторону. Це випадковий збіг чисел, але це приємно. Мені це подобається. Читачі?

Що ж, добре, що кругле, хоча дехто може заперечити, бо вірус, що вражає всіх нас, круглий. Принаймні так малюють.