Стаття ні про що

У дитинстві мене захопила історія, напевно, відома багатьом читачам про «суп на цвяху». Моя бабуся (XNUMX століття народження) розповідала мені це у версії "Козак прийшов і попросив води, тому що у нього є цвях і він варитиме на ньому суп". Цікава господиня дала йому каструлю з водою ... і ми знаємо, що було далі: "суп повинен бути солоним, дайтьє, бабуся, посолити", потім він помив м'ясо "для поліпшення смаку" і таке інше. Зрештою, він викинув «варений» цвях.

Так ось ця стаття мала бути про порожнечу космосу - а це з приводу посадки європейського апарату на комету 67P/Чурюмова-Герасименко 12 листопада 2014 року. Але поки писала піддалася давній звичці, я все-таки математик. Як це з Подобатисяс Нульовий з математики?

Як існує ніщо?

Не можна сказати, що нічого не існує. Він існує принаймні як філософське, математичне, релігійне та цілком розмовне поняття. Нуль - звичайне число, нуль градусів на градуснику - теж температура, а нульовий баланс у банку - неприємне, але звичайне явище. Зауважимо, що нульового року в літочисленні немає, і це тому, що нуль був введений в математику тільки в пізньому середньовіччі, пізніше літочислення, запропонованого ченцем Діонісієм (XNUMX століття).

Як не дивно, ми справді могли б обійтися без цього нуля і, отже, без негативних чисел. В одному з підручників з логіки я знайшла вправу: намалюй або скажи, як уявляєш відсутність риби. Дивно, чи не так? Будь-хто може намалювати рибу, але її відсутність?

Тепер коротко курс з основ математики. Надання привілею існування пустій ​​множині, позначеній перекресленим кружком ∅, є необхідною процедурою, аналогічною додавання нуля до множини чисел. Порожня множина - це єдина множина, що не містить жодного елемента. Такі колекції:

Але не існує двох різних порожніх множин. Порожня множина входить у кожну іншу множину:

Дійсно, правила математичної логіки кажуть, що безліч А міститься у безлічі В тоді і тільки тоді, коли речення:

це тягне за собою

У разі порожньої множини ∅ пропозиція завжди хибна, і, таким чином, за законами логіки імплікація загалом вірна. Все випливає з брехні (“ось я виросту кактус, якщо ти перейдеш у наступний клас…”). Отже, оскільки порожня множина міститься в кожному з інших, то, якби вони були двома різними, кожна з них була б в іншому. Однак якщо дві множини утримуються одна в одній, вони рівні. Ось чому: є лише один порожній набір!

Постулат про існування порожньої множини не суперечить жодним законам математики, то чому б не втілити його в життя? Філософський принцип, званийбритва Оккама» Наказ виключити непотрібні поняття, але якраз поняття порожньої множини дуже корисне в математиці. Зверніть увагу, що порожня множина має розмірність -1 (мінус один) - нульмерні елементи - це точки та їх розріджені системи, одномірні елементи - лінії, а про дуже складні математичні елементи з фрактальною розмірністю ми говорили на фракталах.

Цікаво, що вся будівля математики: числа, цифри, функції, оператори, інтеграли, диференціали, рівняння… можна вивести з одного поняття – порожньої множини! Досить припустити, що є порожній набір, новостворені елементи можна об'єднати в набори, щоб мати можливість побудувати всю математику. Так збудував натуральні числа німецький логік Готтлоб Фреге. Нуль - це клас множин, елементи яких знаходяться у взаємній відповідності до елементів порожньої множини. Один - це клас множин, елементи яких знаходяться у взаємній відповідності до елементів множини, єдиним елементом якого є порожня множина. Два - це клас множин, елементи яких взаємно однозначні з елементами множини, що складається з порожньої множини і множини, єдиним елементом якого є порожня множина ... і так далі. На перший погляд, це здається чимось дуже складним, але насправді це не так.

Синя розстилалася наді мною,

пахло вереском і пахло м'ятою.

Войцех Млинарський, «Дівчина з урожаю»

Важко уявити

Ніщо важко уявити. У розповіді Станіслава Лема «Як було врятовано світ» конструктор Трурль побудував машину, яка б робила все, починаючи з літери. Коли Клапауцій наказав його збудувати Nic, Машина почала видаляти зі світу різні предмети - з кінцевою метою прибрати все. На той час, коли переляканий Клапауцій зупинив машину, галери, тиси, висячі, писаки, рими, віночки, пуфи, точильники, вертелі, філідрони та морози зникли зі світу назавжди. І справді, вони зникли назавжди.

Юзеф Тішнер дуже добре написав про ніщо у своїй «Історії гірської філософії». Під час минулих канікул я вирішив випробувати це небуття, а саме, я вирушив у торф'яні болота між Новим Таргом та Яблонкою у Підхалі. Цей район навіть називають Пустачією. Їдеш, їдеш, а дорога не убуває - звичайно в нашому скромному, польському масштабі. Одного разу я проїхав автобусом канадською провінцією Саскачеван. За вікном було кукурудзяне поле. Я задрімав півгодини. Коли я прокинувся, ми їхали по тому самому кукурудзяному полю… Але заждіть, це порожнеча? У певному сенсі відсутність змін — це просто порожнеча.

Ми звикли до постійної наявності навколо нас різних предметів, і від Щось ви не можете втекти навіть із заплющеними очима. «Я думаю, отже, існую», - сказав Декарт. Якщо я вже щось подумав, значить, я є, а отже є хоч щось у світі (саме Я). Чи є те, що я думав? Це можна обговорювати, але в сучасній квантовій механіці відомий принцип Гейзенберга: кожне спостереження обурює стан об'єкта, що спостерігається. Поки що ми його не спостерігаємо Nic його не існує, і коли ми починаємо дивитися, об'єкт перестає бути Подобатися і це стає Щось. Це доводить до абсурду антропний принцип: немає сенсу запитувати, яким був би світ, якби нас не було Світ такий, яким він нам здається. Можливо, інші істоти побачать Землю незграбною?

Позитрон (такий позитивний електрон) – це дірка у просторі, «немає електрона». У процесі анігіляції електрон стрибає в цю дірку і нічого не відбувається – немає ні дірки, ні електрона. Пропущу безліч жартів про дірочки у швейцарському сирі (“чим більше у мене є, тим менше там…”). Знаменитий композитор Джон Кейдж вже настільки використовував свої ідеї, що написав (?) музичний твір (?), в якому оркестр сидить нерухомо 4 хвилини 33 секунди і, звичайно ж, нічого не грає. "Чотири хвилини і тридцять три секунди - це двісті сімдесят три, 273, а мінус 273 градуси - це абсолютний нуль, на якому зупиняється будь-який рух", - пояснював композитор (?).

Фільтрувати до нуля, нічого, нік, нік, нічого, нуль!

Їжаки у фільмі Анджея Вайди «З роками,

дні йдуть »

Як щодо Все?

Багато людей (від простих хліборобів до видатних філософів) задавалися питанням про феномен існування. У математиці справа просто: є те, що несуперечливе.

Вона зникла у крайових полях

У волошках, бур'янах та левових пащах.

Ну, такі речі трапляються

Особливо у жнива, і під час жнив

особливо…

Войцех Млинарський, «Дівчина з урожаю»

Все знаходиться в іншій крайності від Ніщо. У математиці відомо, що Все не існує. Просто надто неточне уявлення про те, що його існування було б вільним від протиріч. Це можна зрозуміти на прикладі старого парадоксу: "Якщо Бог всемогутній, то створити камінь, щоб підібрати?" Математичний доказ того, що множини всіх множин бути не може, засновано на теоремі співачка-Берштейн, Що говорить про те, що «нескінченне число» (математично: кількісний числівник) множини всіх членів даної множини більше, ніж кількість елементів цієї множини.

Якщо безліч має елементи, воно має 2ⁿ підмножини; наприклад, коли = 3 і набір складається з {1, 2, 3}, тоді існують такі підмножини:

• три двоелементні множини: у кожному з них відсутнє одне з чисел 1, 2, 3,
• один порожній набір,
• три одноелементні множини,
• весь набір {1,2,3}

- всього вісім, 2³А читачам, які недавно закінчили школу, хотілося б нагадати відповідну формулу:

Кожен із ньютонівських символів у цій формулі визначає кількість наборів k-елементів у наборі -елементів.

У математиці біноміальні коефіцієнти з'являються у багатьох інших місцях, наприклад, у цікавих формулах скороченого множення:

і з їхньої точної форми набагато цікавіша їх взаємозалежність.

Важко зрозуміти, що – що стосується логіки та математики – є, а що все немає. Аргументи на користь небуття Всього ті ж, що й у Вінні-Пуха, який чемно запитав свого гостя, Тигра, чи люблять взагалі Тигри мед, жолуді та будяки? "Тиграм все подобається", - відповів той, з якого Кубусь зробив висновок, що якщо їм все подобається, значить, вони теж люблять спати на підлозі, отже він, Вінні, може повернутися в ліжко.

Інший аргумент парадокс Рассела. У місті є перукар, який голить усіх чоловіків, які не голяться самі. Він сам голиться? Обидві відповіді суперечать висунутій умові, що забивають тих і лише тих, хто цього не робить сам.

У пошуках колекції всіх колекцій

На закінчення я наведу розумний, але найбільш математичний доказ того, що не існує безлічі всіх множин (не плутати з ним).

По-перше, ми покажемо, що для будь-якої непустої множини X неможливо знайти взаємоунікальну функцію, яка відображає цю множину в безліч її підмножин P (X). Отже, припустимо, що ця функція існує. Позначимо його традиційним f. Що таке f? Це колекція. Чи належить xf із x? Це невідомо. Або ти винен, або ні. Але для деякого х воно все ж таки має бути таким, щоб воно не належало f від х. Що ж, тоді розглянемо багато всіх x, для яких x не належить f(x). Позначимо його (це безліч) через А. Йому відповідає деякий елемент а множини X. Чи належить а? Припустимо, ви повинні. Але А є безліч, що містить ті елементи з х, які не належать f(x)… Ну, можливо, воно не належить А? Але безліч А містить всі елементи цієї властивості, а отже, і А. Кінець доказу.

Отже, якби існувало безліч усіх множин, воно саме було б підмножиною самого себе, що неможливо згідно з попередніми міркуваннями.

Уф, не думаю, що багато читачів ознайомилися з цим доказом. Швидше, я привів його, щоб показати, чим мали займатися математики в кінці дев'ятнадцятого століття, коли вони приступили до вивчення основ власної науки. Виявилося, що проблеми криються там, де на них ніхто не очікував. Більш того, для всієї математики ці міркування про підстави не мають значення: що б не відбувалося у підвалах – весь корпус математики стоїть на твердій скелі.

Тим часом, на найвищому щаблі…

Зазначимо ще одну мораль із оповідань Станіслава Лема. В одній зі своїх подорожей Ійон Тічі досяг планети, жителі якої після довгої еволюції нарешті досягли найвищого ступеня розвитку. Вони всі сильні, вони можуть усі, у них усі під рукою... і нічого не роблять. Вони лягають на пісок та пересипають його між пальцями. «Якщо все можливо, воно того не варте», — пояснюють приголомшеному Іджону. Та не станеться цього з нашою європейською цивілізацією.