Вибори та математика, або розділяй та володарюй
Проблема вибору стояла перед нами. Перед первісною людиною теж стояла дилема: у якому світлі жити? З іншого боку, вибори вождів племені були простішими: правив той, хто вбив конкурента. Сьогодні складніше. Це також добре.
Латинська пропозиція, використана в назві статті, означає «розділяй і володарюй». Він завжди використовувався. Викличте сварку у нації – і вам легше її завоювати. Іспанські конкістадори XVI і XVII століть вміло налаштовували одні індіанські племена проти інших. Наприкінці XVIII століття російський посол Рєпнін багато чого досяг: йому вдалося створити бродіння в останні роки незалежної Польщі. Так само вчинили англійці у своїй колишній імперії, і югославська війна 1990 року почалася з нацьковування сербів на хорватів і навпаки.
Ми знаємо приклади навмисного розпалювання конфліктів усередині однієї країни. На щастя, у сьогоднішній Польщі це не так. Правляча партія — зразок м'якості, стриманості та здорового глузду, сповнена поваги до опозиції, яка поважає закон, Конституцію та волю простої людини. На міжнародному форумі перемагаємо, часто з нулем (перемога 27:0, що запам'ятовується). У спорті у нас все гаразд: ми пам'ятаємо драматичний хокейний матч із Камеруном. Скандалів немає, політики кришталево чисті. Де в них у головах власні кишені! Партія лідирує. Ми допоможемо!
Стоп, стоп. Ми не журналістський журнал. Подивимося, як можна зігнути процес прийняття рішень у величі математики та логіки. Повне опис було б великою роботою, скоріш журналістської, ніж наукової.
Можливі такі варіанти.
По-перше, маніпулювання розподілом країни на округи.
По-друге, вибір методу конвертації голосів у парламентські місця або (наприклад, у разі президентських виборів) у виборчі місця.
Третє: інтерпретація того, коли голос важливий, а коли ні.
Я не згадую тут про явні зловживання, такі як маніпулювання необізнаністю виборців (для Польської Народної Республіки порожнє голосування означало голосування за кандидатів, перерахованих на початку списку), шахрайства при підрахунку голосів та надсилання даних вище.
Я почну . Що це за дивний термін? Я пояснюю трохи манівцями.
Ваші читачі, мабуть, знають рахунок у тенісі. Отримуємо окуляри, гейми та сети. Для перемоги у грі вам необхідно виграти не менше чотирьох м'ячів (очків), але як мінімум на два більше, ніж ваш супротивник. Виняток становить гра на тай-брейку - в ній грає до семи виграшних очок (куль), також з правилом переваги в два м'ячі. Виграні кулі нумеруються дивно: 15, 30, 40, далі використовуємо лише терміни “перевага – баланс”.
1. Ліворуч класичний джеррімендерінг. Глобальний баланс обертається перемогою синіх. Правильно: у кожному окрузі північного округу у синіх лише 25% підтримки, в інших, як і раніше, – але вони не проти.
Дорогоцінне каміння зібрано в набори. Щоб виграти сет, ви повинні мати як мінімум шість геймів і як мінімум на два більше, ніж ваш супротивник. За рахунку 6:6 зазвичай грає тай-брейк. Матчі граються з двома чи трьома виграними сетами. «До двох перемог» означає, що перемагає той, хто виграє два сети. Таким чином, результат може бути 2:0 або 2:1 (і симетрично 0:2, 1:2). Ці правила означають, що вам не потрібно вигравати більше куль (окулярів), щоб виграти гру. Простіше кажучи, ви повинні виграти найважливіші з них. Крайнім прикладом є той, де тенісист А виграє перший сет із рахунком 6:0, а два інші програють 4:6. Програє матч, незважаючи на те, що він виграв 14 ігор, а його супротивник – 12.
Я зверну увагу на те, що я написав хвилину тому. У тенісі є більш-менш важливі моменти. Хороший тенісист зосереджується на найважливішому.
Доля мільйонів у лапах саламандри
Переходимо до політичних виборів. У загальному сенсі, до виборів, у яких вирішують тисячі чи мільйони.
Ви повинні спочатку мати країну для виборчих округів. Так як? Не важливо як? о ні! Першим, хто вигадав, як це зробити, щоб збільшити шанси власної партії, був Елбрідж Джеррі, американський політик двохсотрічної давності. Один із запропонованих ним кіл мав форму… саламандри, і поєднання його імені із цим хвостатим земноводним призвело до появи терміна. Він досить добре працює з одномандатними округами, тому не застосовуємо безпосередньо до Польщі. З багаточленним офісом справа зовсім по-іншому. Іноді можна обпектися. А штука цікава.
2. Майстер махінацій. Ліворуч: 40% глобальної підтримки обернулися перемогою з рахунком 4:2. Справа: Geometry чудово впорається і перетворить підтримку 32% на глобальну перемогу 4:3.
Отже, уявімо країну, густонаселену і з дуже правильними кордонами: ідеальний квадрат з невеликими містами-полями всередині нього. Місто та вибори мера – найкраща аналогія, але математично це не має значення. Правляча партія синього кольору має підтримку в секторах, позначених синім кольором рис. 1. Зелені лідирують у зелених квадратах. Оскільки йдеться про одномандатні округи, неважливо, у чому перевага. Ми пов'язані на національному рівні, стільки ж синіх квадратів, як і зелених. Але сині правлять і поділяють країну на регіони. Є вісім виборчих округів (1). Які результати голосування? Непередбачуваний! Сині гравці виграють у A, C, E, F, G, тобто у п'яти із восьми кіл. У разі одномандатних округів вони мають перевагу 5:3 у масштабі країни (можливо міста, якщо це вибори мера).
виборча географія це має важливу перевагу для вечірки, де скандали – звичайна справа. Уявімо, що у виборчому окрузі Б вибухнув скандал – мер привласнив бюджетні гроші і сказав, що все гаразд. Багато виборців відвернулися від нього. Якщо раніше голоси розподілялися майже порівну (51:49 на користь тієї чи іншої партії), то тепер в окрузі Б у кожному маленькому окрузі зелені отримали 75%, а сині лише 25. Однак у масштабі країни це зовсім не зашкодивТаблиця 1). Використовуючи аналогію з тенісом, можна сказати, що вони втратили лише пусте очко.
| виборчий округ | Синій | Зелоні | Хто виграє |
| A | 251 | 249 | Синій |
| B | 100 | 300 | Зелоні |
| C | 251 | 249 | Синій |
| D | 198 | 202 | Зелоні |
| E | 251 | 249 | Синій |
| F | 251 | 249 | Синій |
| G | 251 | 249 | Синій |
| H | 149 | 151 | Зелоні |
| Усього голосів | 1702 | 1898 | від 5 до 3 для сині |
Таблиця 1. Кількість голосів 1898: 1702 на користь зелених, але 5: 3 місця у парламенті за синіх! На президентських виборах у США буває так, що переможець отримує менше голосів.
Одномісна система має свої переваги та недоліки. Це сталося з англійської парламентської традиції. Щоб хоч трохи скоротити принцип «переможець отримує все», були запропоновані різні математичні формули. Найпоширенішим правилом була «найбільша дрібна частина». Припустимо, що у Гродзісько Надморському районі змагаються чотири партії A, B, C та D. Є сім місць, щоб виграти. На виборах ці партії отримали відповідно 9934 5765, 4031 1999, 21 729 та XNUMX голосів; разом XNUMX XNUMX. Розраховуємо:
7∙9934/21729= 3,20
7∙5765/21729= 1,86
7 ∙4031/21729= 1,30
7∙1999/21729= 0,64
Ясно; якби Речі Посполита була, як каже князь Радзивілл у «Потопі», червоною тканиною, партії б розірвали її в пропорції 320:186:130:64. Але є лише сім місць, щоб поділити. Лоти А заслуговують трьох місць (бо приватне більше 3), лоти Б, С – по одному місцю. Як мені виділити два інші? Пропонується таке рішення: віддати тим партіям, яким «найменше бракує повного голосу», тобто тим, хто має найбільшу дробову частину. Тому вони потрапляють у частини B, D. Уявимо результат зрозумілим графіком на рис. 3.
рис.3 Метод «найбільшої дробової частини». Коаліція B+C+D перемагає партію A
Що дасть т.зв. правило д'Ондта? Я обговорюю це трохи далі. Рекомендую як вправу. Результат на рис. 4.
рис.4 Результати методу д'Ондта. Сторона А править сама собою.
Я рекомендую читачам як таку легку вправу зробити щось на зразок цього: уявіть, що партії В, С і D укладають угоду і йдуть на вибори одним блоком – назвемо її Е. Потім, як випливає з правила д'Ондта, вони забирають один мандат у партії А, тобто. результат А: Є дорівнює 3:4. Висновок вже багато років відомий як прислів'я: Злагода творить, незгода руйнує.
На щастя, приклади, які я тут наводжу, вигадані, і будь-яка подібність із відомими країнами є випадковістю.
Д'Онд
Як працює згаданий метод Д'Ондта? Найкраще для цього підходить приклад. Припустимо, що певний округ проголосував на виборах до єпископального парламенту, як це показано. Таблиця 2.
| Назва партії | Голоси Н. | N / 2 | N / 3 | N / 4 | N / 5 |
| Вечірка повного процвітання | 10 000 | 5000 | 3333 | 2500 | 2000 |
| Вечірка достатку | 6600 | 3300 | 2200 | 1650 | 1320 |
| Локомотив прогресу | 4800 | 2400 | 1600 | 1200 | 960 |
| Шахраї та шахраї | 3600 | 1800 | 1200 | 900 | 720 |
Таблиця 2. Результати голосування в окрузі Клапуцько Мале на виборах у Клападочі.
З'ясувалося, що партія шахраїв та гохштаплерів так досягла успіху лише у Клапуцьких Малих. У глобальному масштабі вони не набрали 5%, тож їх результати не враховуються. Інші розміщуємо по черзі, не забуваючи з якої партії вони:
10 000 (PTD), 6600 (SO), 5000 (PTD), 4800 (LP), 3333 (PTD), 3300 (SO), 2500 (PTD), 2400 (LP), 2200 (SO) і т.д. У зазначеному порядку ми призначаємо квитки. Результат багато в чому залежить кількості доступних квитків.
| 3-го місця | ПТД 2, 1, ЛП 0 |
| 4-го місця | ПТД 2, 1, ЛП 1 |
| 5 місць | ПТД 3, 1, ЛП 1 |
| 6 місць | ПТД 3, 2, ЛП 1 |
| 7 місць | ПТД 4, 2, ЛП 1 |
| 8 місць | ПТД 4, 2, ЛП 2 |
| 9 місць | ПТД 4, 3, ЛП 2 |
Таблиця 3. Розподіл місць залежно від кількості.
Кажуть, що така система згладжує результати – скорочує можливе домінування однієї партії. Проте справа складніша. Все залежить від даних. У мене немає місця для більш довгих міркувань, зазначу лише два цікаві факти:
1. Якби шахраї та шахраї досягли національного виборчого порогу, результати могли б бути іншими. Вони не змінилися б, якби потрібно було виграти три чи чотири місця, але якби до парламенту увійшли п'ять осіб від округу, результат був би: ПТД 2, СО 1, ЛП 1, ОіГ 1. Партія ПМД втратила б своє абсолютне право. більшість. Це навпаки: якщо з партії вирветься невелика фракція, програють усі, включаючи незгодних.
2. Якби СО та ЛП порозумілися і пішли на вибори разом, то їм було б не гірше в будь-якому розкладі, а як правило краще.
Подивимося також, як метод д'Ондта трактує ситуацію з рис. 2коли в палаті є два чи три вільні місця. Нагадаю, що таке у разі одномандатних округів дало сильну перемогу Синім. У випадку з двомісними відбувається тотальна поразка, а ось у випадку із тримісними він знову виграє.
| виборчий округ | Синій | Зелоні | Метод закінчення |
| A | 251 | 249 | Передавальні числа: 251/249; розклад 1-1 |
| B | 100 | 300 | 300/100; 0-2 |
| C | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198; 1-1 |
| E | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149; 1-1 |
| Усього голосів | 1702 | 1898 | Синій 7 – Зелений 9 |
Таблиця 4. Ситуація із рис. 2, але з двомандатними округами. Провал синіх 7:9.
| виборчий округ | Синій | Зелоні | Метод закінчення |
| A | 251 | 249 | Передавальні числа: 251/249/125,5; графік 2-1 |
| B | 100 | 300 | 300/150/100; 0,5-2,5 |
| C | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198/101; 1-2 |
| E | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149/75,5; 1-2 |
| Усього голосів | 1702 | 1898 | Синій 12,5 – Зелений 11,5 |
Таблиця 5. Ситуація із рис. 2, але із тримандатними округами.
Серед деяких особливостей я відношу геометрію при кваліфікації голосів як важливих або неважливих. У багатьох країнах знаком схвалення є «галочка», тобто буква v, а іноді й Y. У нас є хрестик x, який асоціюється скоріше із закреслюванням (і, отже, відхиленням). Законодавець хотів уточнити це і дав квазіматематичне визначення — «дві лінії, що перетинаються», тлумачачи, що дві лінії у літери v не перетинаються.
По-перше, в математиці “пересічні” означають “мають спільну точку” – це має особливо асоціюватися з молодшими людьми (до п'ятдесяти), тому що так зараз у школі. Втім, якщо хтось не вірить у математику, то може згадати, що розворот на дорозі – це також перехрестя.
Краще залишити неточне визначення: будь-яка ознака, яка недвозначно вказує на обрання кандидата на посаду, яка колись була почесною, а тепер має тільки принизливу асоціацію.
