Премія Абеля

Мало хто з читачів скаже щось про ім'я Авель. Ні, йдеться не про нещасного юнака, вбитого власним братом Каїном. Я маю на увазі норвезького математика Нільса Хенріка Абеля (1802–1829) та премію, названу на його честь, яку щойно присудили (16 березня 2016 р.) Норвезькою академією наук та листи серу Ендрю Дж. Уайлсу. Це компенсує математикам те, що вони опущені Альфредом Нобелем у рейтингу категорій найважливішої світової наукової премії.

Хоча математики цінують т.зв. Медаль Філдса (офіційно вважається вищим лавром у своїй області), його пов'язують лише з 15 тисячами. (не мільйони, тисячі!) канадських доларів, поки що переможець Премії Абеля кладе до кишені чек на 6 мільйонів норвезьких крон (близько 750 8 євро). Нобелівські лауреати одержують 865 мільйонів шведських крон, або близько XNUMX тисяч. євро – менше, ніж у тенісистів за перемогу у великому турнірі. Є кілька ймовірних причин, через які Альфред Нобель не включив математиків до можливих лауреатів премії. Заповіт Нобеля стосувався «винаходів і відкриттів», які приносять найбільшу користь людству, але, мабуть, не теоретичних, а практичних. Математика не вважалася наукою, яка б принести практичну користь людству.

Чому Авель

Хто був Нільс Хенрік Абель і як він став відомим? Він, мабуть, був блискучим, бо, хоча й помер від туберкульозу лише у 27 років, він мав постійне місце в математиці. Ну, а вже в молодших класах нас вчать розв’язувати рівняння; спочатку перший ступінь, потім квадратний і іноді кубічний. Вже чотириста років тому італійські вчені змогли впоратися рівняння четвертого ступенянавіть той, який виглядає безневинним:

і з яких один із елементів

Так, це могли зробити вчені вже у XNUMX столітті. Неважко здогадатися, що враховувалися рівняння найвищих ступенів. І нічого. За двісті років нікому не вдалось. Нільс Абель також зазнав невдачі. І тут він зрозумів, що… можливо, це взагалі неможливо. Це можна довести неможливість розв'язання такого рівняння – а точніше, висловлюючи рішення простими арифметичними формулами.

Це була перша з 2 тисяч. років (!) Міркування такого типу: щось не можна довести, щось не можна зробити. Монополія такі докази належить математиці — практичні науки дедалі більше ламають бар'єри. У 1888 р. голова Патентної комісії США заявив, що «у майбутньому слід очікувати трохи винаходів, бо вже винайдено майже все». Сьогодні нам важко навіть посміятися з цього… А в математиці – одного разу доведено, воно втрачено. Це неможливо зробити.

Історія ділить відкриття, яке я описав, між Нільс Абель i Еварист Галуа, обидва померли до XNUMX років, недооцінені сучасниками. Нільс Абель — один із небагатьох норвезьких математиків із широкою славою (насправді два, інший — Софус Лі, 1842-1899 - прізвища звучать не по-скандинавськи, але обидва були корінними норвежцями).

Норвежці не ладні зі шведами – на жаль, це поширене серед сусідніх народів. Одним із мотивів заснування норвежцями Абелевської премії було бажання показати своїм співвітчизникам Альфреда Нобеля: ну, будь ласка, ми не гірші.

Погоня за неіснуючим маржинальним входом

Ось вам і Нільс Хенрік Абель. Тепер про лауреат премії, 63-річного англійця (що живе в США). Його подвиг у 1993 році можна було порівняти тільки зі сходженням на Еверест, сходженням на Місяць або чимось у цьому роді. Хто такий сер Ендрю Вайлз? Якщо ви подивитеся на список його публікацій та різні можливі індекси цитування, він буде добрим ученим — їхні тисячі. Тим не менш, він вважається одним з найбільших математиків. Його дослідження відносяться до теорії чисел і використовують відносини з алгебраїчна геометрія Тепер теорія уявлень.

Він прославився тим, що розв’язав зовсім незначну з точки зору математики задачу доказ Великої теореми Ферма (хто не знає, що відбувається - нагадую нижче). Однак справжньою цінністю було не саме рішення, а створення нового методу тестування, який використовувався для вирішення багатьох інших важливих проблем.

На цьому етапі неможливо не задуматися про важливість тих чи інших справ, про ієрархію досягнень людини. Сотні тисяч молодих людей мріють бити по м'ячу краще за інших, десятки тисяч бажають піддатися впливу гімалайських вітрів, стрибати з гуми на міст, видавати звуки, які вони називають співом, напихати іншим нездорову їжу ... або розв’язати непотрібне рівняння для будь-кого. Перший підкорювач гори Еверест, сер Едвард Хілларі, Відповів прямо на запитання, навіщо він туди увійшов: "Тому що він є, тому що Еверест є!" Автор цих слів все життя був математиком, то був мій рецепт життя. Єдиний правильний! Але давайте покінчимо з цією філософією. Повернімося до здорового шляху математики. Навіщо вся ця метушня навколо теореми Ферма?

Я вважаю, ми всі знаємо, що вони собою представляють прості числа. Напевно всі розуміють фразу «розкласти на прості множники», особливо коли наш синочок перетворює годинник на частини.

П'єр де Ферма (1601-1665) був юристом з Тулузи, але займався і аматорською математикою і з досить непоганими результатами, оскільки увійшов в історію математики як автор багатьох теорем теорії чи аналізу. Він мав звичку розміщувати свої зауваження та коментарі на полях читаних книг. І саме – близько 1660 року він написав на одному з полів:

Ось вам і П'єр де Ферма. З його часу (а нагадаю, що у Франції на той час жив хоробрий гасконський дворянин д'Артаньян, а в Польщі Анджей Кміцич боровся з Богуславом Радзівілом) сотні, а може, навіть тисячі великих і малих математиків намагалися безуспішно реконструювати втрачені міркування геніального . Хоча сьогодні ми впевнені, що доказ Ферма не може бути вірним, дратувало те, що просте питання про те, рівняння хⁿ + uⁿ = dⁿ, n> 2 має рішення у натуральних числах? може бути так важко.

Багато математиків, які прийшли на роботу 23 червня 1993 року, знайшли у своїй електронній пошті (тоді був свіжим, ще теплим винаходом) лаконічне повідомлення: «Чутки з Британії: Вайлс доводить Ферма». Наступного дня про це писала щоденна преса, а остання з циклу лекцій Wiles зібрала пресу, телебачення та фотожурналістів – як на конференції відомого футболіста.

Кожен, хто читав «Сатану з сьомого класу» Корнела Макушинського, безперечно, пам’ятає, що зробив пан Іво Ґансовський, брат професора історії, чию систему опитування учнів відкрив Адась Цісовський. Іво Ґансовський просто розв’язував рівняння Ферма, втрачаючи час, майно та нехтуючи будинком:

Зрештою пан Іво зрозумів, що законопроекти про повноваження не забезпечать щастя родині, і відмовився. Макушинський не любив науки, але мав рацію щодо пана Ґансовського. Іво Ґансовський зробив одну фундаментальну помилку. Він не намагався стати фахівцем у хорошому сенсі цього слова, а діяв як дилетант. Ендрю Вайлс – професіонал.

Цікавою є історія боротьби з Великою теоремою Ферма. Видно досить просто, що їх досить вирішити для показників ступеня, що є простими числами. Для n = 3 рішення було дано у 1770 році. Леонард Ейлердля n = 5 – Пітер Густав Лежен Діріхле (1828) і Адріан Марі Лежандр у 1830 р., а при n = 7 – Габріель Ламе 1840 року. У XNUMX столітті німецький математик присвятив більшу частину своєї енергії проблемі Ферма Ернст Едуард Куммер (1810-1893). Хоча він не досяг остаточного успіху, він довів безліч особливих випадків і відкрив багато важливих властивостей простих чисел. Велика частина сучасної алгебри, теоретичної арифметики та алгебраїчної теорії чисел завдячує своїм походженням роботам Куммера над теоремою Ферма.

При вирішенні проблеми Ферма методами класичної теорії чисел вони були розбиті на два різні випадки складності: перший, коли ми припускаємо, що твір xyz взаємно простий з показником n, і другий, коли z дорівнює ділиться на показник ступеня. У другому випадку було відомо, що до n = 150 000 рішень немає, а в першому - до n = 6 000 000 000 (Lehmer, 1981). Це означало, що можливий контрприклад у будь-якому разі був би неможливим: для його отримання були б потрібні рахунки з мільярдів цифр.

Ось вам і давня історія. На початку 1988 року в математичному світі було відомо, що Йоті Міяока довів деяку нерівність, з якої випливало таке: якщо тільки показник ступеня n досить великий, то рівняння Ферма явно не має рішень. Порівняно з трохи більш раннім результатом німця Герд Фалтінгс (1983) Результат Міяока означав, що є рішення, їх (з погляду пропорційності) лише кінцеве число. Таким чином, вирішення проблеми Ферма звелося до перерахування кінця багатьох випадків. На жаль, скільки їх було невідомо: методи, використані Міяокой, не дозволяли оцінити, скільки вже було «гаразд».

Тут варто відзначити, що протягом багатьох років дослідження теореми Ферма велися не в рамках чистої теорії чисел, а в рамках алгебраїчної геометрії, математичної дисципліни, похідної від алгебри і розширення декартової аналітичної геометрії, а тепер поширюється майже повсюдно: від основ математики (теорія топосів у логіці), через математичний аналіз (когомологічні методи, функціональні пучки), класичну геометрію, до теоретичної фізики (векторні розшарування, твісторні простори, солітони).

Коли почесті байдуже

Також важко не сумувати за долею математика, чий внесок у вирішення проблеми Ферма дуже значний. Я говорю про Аракіеля (Сурен Юрійович Аракєлов, український математик з вірменським корінням), який на початку 80-х років, коли навчався на четвертому курсі, створив т.зв. теорія перетинів на арифметичних різноманіттях. Такі поверхні сповнені дірок і незавершеностей, а вигини на них можуть раптом зникнути, а потім знову з'явитися. Теорія перетину пояснює, як розрахувати міру перетину таких кривих. Це був основний інструмент, що використовувався Фальтінгсом та Міяокою у роботі над проблемою Ферма.

Якось Аракелова запросили представити свої результати на великому математичному конгресі. Однак, оскільки він критикував радянську систему, йому було відмовлено у дозволі на виїзд. Незабаром його призвали до армії. Він демонстративно продемонстрував, що проти військової служби взагалі з пацифістських міркувань. Як мені стало відомо з досить сумнівних джерел, його нібито направили до закритої психіатричної лікарні, де він провів близько року. Як відомо, мабуть, у політичних цілях радянські психіатри виділяли особливий тип шизофренії (англійською від, що означає «млявий», російською) млява шизофренія).

Важко сказати сто відсотків, як це було насправді, тому що мої джерела інформації не дуже надійні. Зважаючи на все, після виходу зі шпиталю Аракелов кілька місяців провів у монастирі в Загорську. Нині живе у Москві з дружиною та трьома дітьми. Він займається математикою. Ендрю Вайлс сповнений почестей та грошей.

З погляду ситого європейського суспільства крок теж незрозумілий Григорія Перельмана, який у 2002 році вирішив найвідомішу топологічну проблему ХХ століття,”Гіпотеза ПуанаріА потім відкинув усі можливі нагороди. Спочатку згадана на початку Філдсовська медаль, яку математики вважають еквівалентом Нобелівської премії, а потім нагорода в один мільйон доларів за вирішення одного з семи найважливіших математичних завдань, що залишилися від ХХ століття. «Інші були кращі, мене не хвилюють почесті, тому що математика — моє хобі, я маю їжу та сигарети», — більш-менш сказав він здивованому світові.

Успіх через понад 300 років

Велика теорема Ферма, безсумнівно, була найвідомішою та найефективнішою математичною задачею. Вона була відкрита понад триста років, була сформульована дуже чітко та читабельно, і теоретично її можна було атакувати будь-хто, а в епоху популяризації комп’ютерів було відносно легко спробувати побити черговий рекорд в оцінці. можливі рішення. В історії математики це питання через свою натхненну роль відіграло дуже важливу «культуроутворюючу» роль, сприяючи виникненню цілих математичних дисциплін. Це дивно, оскільки сама проблема відносно тривіальна, а сама інформація про відсутність коренів у рівнянні Ферма мало внесла в загальну скарбницю математичних знань.

В 1847 Габріель Ламе (1795-1870) прочитав лекцію у Французькій академії наук, оголосивши про вирішення проблеми Ферма. Однак тут же помітили тонку помилку міркувань. Він ґрунтувався на несанкціонованому використанні теореми однозначного розкладання. Ми пам'ятаємо зі шкільної лави, що кожне число має однозначну розбивку на прості множники, наприклад, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Число 503 не має дільників (крім 1 і 503), тому поширювати його далі не можна.

Властивістю унікальності розподілу мають цілі позитивні числа, але серед інших числових множин їм бути не обов'язково. Наприклад, для номерів символів

маємо 36 = 2²⋅2³ ,але також

Аналізуючи доказ Ламе, Куммер зміг довести справедливість гіпотези Ферма щодо деяких показників числа нар. Він назвав їх правильними простими числами. Це був перший важливий крок до повного підтвердження. Навколо теореми Ферма виріс міф. "А може, це ще гірше - можливо, ви навіть не можете довести, що це можливо чи неможливо вирішити?"

Але з 80-х усі відчували, що ціль близька. Пам'ятаю, Берлінська стіна ще стояла, а я вже слухав лекції про “швидко, за мить”. Що ж, хтось мав бути першим. Ендрю Уайлс завершив свою лекцію англійською флегмою: «Я думаю, це доводить Ферма», і знадобився деякий час, перш ніж переповнена аудиторія зрозуміла, що сталося: над математичним завданням 330-річної давності інтенсивно працювали сотні математиків із самих полку та незліченна кількість любителів, таких як Іво Гонсовський із романів Макушинського. А Ендрю Вайлсу випала честь потиснути руку Харальду V, королю Норвегії. Можливо, він не звернув уваги на скромну надбавку до Абелевської премії, близько кількох сотень тисяч євро, навіщо йому стільки грошей?